Karl Pearson, que elaborou muitos conceitos importantes em estatística, coletou dados sobre crimes em 1909. Dos condenados por incêndio criminoso, 50 bebiam e 43 eram abstêmios. Dos condenados por crime de fraude, 63 bebiam e 144 eram abstêmios. Com o nível de 0,01 de significância, teste a afirmação de que a proporção dos que bebem entre os incendiários é maior do que a proporção dos bebedores condenados por fraude. A bebida parece ter algum efeito sobre o tipo de crime? Por quê?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de estatística que envolve comparar duas proporções. O enunciado nos dá dados sobre condenações por incêndio criminoso e fraude em 1909, distinguindo entre aqueles que bebiam e os abstêmios. Nosso objetivo é testar, com um nível de significância de 0,01, se a proporção de bebedores entre incendiários é maior do que a dos condenados por fraude. Para isso, vamos utilizar o teste de hipótese para a diferença entre duas proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos:
  • Incendiários:
    • Bebiam: 50
    • Abstêmios: 43
    • Total: 50 + 43 = 93
  • Fraudadores:
    • Bebiam: 63
    • Abstêmios: 144
    • Total: 63 + 144 = 207

Passo 3

Calculamos as proporções de bebedores em cada grupo:
  • Proporção de bebedores entre incendiários ( p1):
    p1 = 5093 approx 0,5376
  • Proporção de bebedores entre fraudadores ( p2):
    p2 = 63207 approx 0,3043

Passo 4

Definimos as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( H0): A proporção de bebedores entre incendiários é igual ou menor que a dos fraudadores.
    H0: p1 <= p2
  • Hipótese alternativa ( Ha): A proporção de bebedores entre incendiários é maior que a dos fraudadores.
    Ha: p1 > p2

Passo 5

Calculamos a proporção combinada ( pc) considerando todos os bebedores e o total geral:
pc = 50 + 6393 + 207 = 113300 approx 0,3767

Passo 6

Calculamos o erro padrão ( SE) da diferença entre as duas proporções:
SE = raizpc (1 - pc) ( 1n1 + 1n2 ) = raiz0,3767 times 0,6233 ( 193 + 1207 ) approx 0,0695

Passo 7

Calculamos o valor do teste z:
z = p1 - p2SE = 0,5376 - 0,30430,0695 approx 3,398

Passo 8

Determina-se o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 0,01. Consultando a tabela z, encontramos que zcrítico approx 2,33í.

Passo 9

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
3,398 > 2,33
Como z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 10

Concluímos que há evidências estatísticas significativas para afirmar que a proporção de bebedores entre os incendiários é maior do que entre os fraudadores, com um nível de confiança de 99%.

Resposta

A análise estatística mostra que a proporção de bebedores entre os condenados por incêndio criminoso é significativamente maior do que entre os condenados por fraude ( z approx 3,398 > 2,33). Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que o hábito de beber parece influenciar o tipo de crime cometido.

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