Está sendo feito um teste da hipótese sigma1^2=sigma2^2, com o nível de 0,05 de significância. Que se pode concluir de cada um dos casos abaixo?
a. Estatística de teste F=2,0933 ; n1=50 ; n2=35
b. Estatística de teste F=1,8025 ; n1=50 ; n2=35
c. Estatística de teste F=2,3935 ; n1=40 ; n2=20

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem um teste de hipótese onde queremos verificar se as variâncias de duas populações são iguais, ou seja, estamos testando se sigma1^2 = sigma2^2. O nível de significância desse teste é de 0,05 (ou 5%). Para resolver isso, vamos usar o teste F, que compara as variâncias de duas amostras. Precisamos comparar a estatística F calculada com os valores críticos da distribuição F para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula.

Passo 2

Caso a: Estatística de teste F = 2,0933 ; n1 = 50 ; n2 = 35
Primeiro, vamos identificar os graus de liberdade. Para o teste F, temos:
  • Graus de liberdade do numerador ( df1) = n1 - 1 = 50 - 1 = 49
  • Graus de liberdade do denominador ( df2) = n2 - 1 = 35 - 1 = 34
Agora, vamos encontrar os valores críticos da distribuição F para um nível de significância de 0,05. Como é um teste bilateral (já que estamos verificando se as variâncias são diferentes, sem especificar qual é maior), precisamos dividir o nível de significância igualmente nas duas caudas.
Usando uma tabela F ou uma calculadora estatística, encontramos:
  • Valor crítico inferior ( F0.025) ≈ 0,656
  • Valor crítico superior ( F0.975) ≈ 1,527
Comparando nosso valor F calculado (2,0933) com os valores críticos:
  • Se F < 0,656 ou F > 1,527, rejeitamos a hipótese nula.
  • Aqui, 2,0933 > 1,527, então rejeitamos a hipótese nula.
Isso significa que há evidências suficientes para afirmar que as variâncias são diferentes.

Passo 3

Caso b: Estatística de teste F = 1,8025 ; n1 = 50 ; n2 = 35
Usando os mesmos graus de liberdade do caso anterior ( df1 = 49, df2 = 34), os valores críticos são os mesmos:
  • Valor crítico inferior ( F0.025) ≈ 0,656
  • Valor crítico superior ( F0.975) ≈ 1,527
Comparando nosso valor F calculado (1,8025) com os valores críticos:
  • 1,8025 > 1,527, então novamente rejeitamos a hipótese nula.
Portanto, também neste caso, há evidências suficientes para concluir que as variâncias das duas populações são diferentes.

Passo 4

Caso c: Estatística de teste F = 2,3935 ; n1 = 40 ; n2 = 20
Agora, vamos calcular os graus de liberdade:
  • Graus de liberdade do numerador ( df1) = 40 - 1 = 39
  • Graus de liberdade do denominador ( df2) = 20 - 1 = 19
Buscando os valores críticos para df1 = 39, df2 = 19 e nível de significância de 0,05:
  • Valor crítico inferior ( F0.025) ≈ 0,536
  • Valor crítico superior ( F0.975) ≈ 1,750
Comparando nosso valor F calculado (2,3935) com os valores críticos:
  • 2,3935 > 1,750, então rejeitamos a hipótese nula.
Isso indica que, neste caso, também há evidências para afirmar que as variâncias são diferentes.

Resposta

Em todos os três casos apresentados, a estatística de teste F calculada é maior que o valor crítico superior correspondente. Portanto, rejeitamos a hipótese nula sigma1^2 = sigma2^2 em todos os casos, concluindo que as variâncias das duas populações são significativamente diferentes.

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