Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = Noekt, em que No é o número de bactérias no instante do início da observação (t=0) e k é uma constante real positiva. Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado. Quanto ao número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi:
a) 3N
b) 15N
c) 243N
d) 360N
e) 729N.
a) 3N
b) 15N
c) 243N
d) 360N
e) 729N.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento de uma população de bactérias que segue uma função exponencial: $ N(t) = N_0 e^{kt} $. Aqui, $ N_0 $ é o número inicial de bactérias no tempo $ t = 0 $ e $ k $ é uma constante positiva. O que a gente precisa descobrir é, com base nessa função, qual será o número de bactérias após certo tempo, sabendo que depois de 1 hora essa população triplicou.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da constante $ k
t = 1 $), o número de bactérias triplicou, ou seja, $ N(1) = 3N_0 $.
Substituindo esses valores na função:
Agora, podemos simplificar dividindo os dois lados por $ N_0 $:
Para resolver para $ k $, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Então, $ k = \ln(3) $.
Passo 3
Agora que temos o valor de $ k $, podemos reescrever a função de crescimento das bactérias:
Sabemos que $ e^{\ln(3)} = 3 $, então podemos simplificar a função para:
Isso significa que a cada hora, o número de bactérias é multiplicado por 3.
Passo 4
Vamos calcular o número de bactérias em relação ao número inicial. Como a função é $ N(t) = N_0 \cdot 3^{t} $, precisamos determinar para quanto tempo estamos avaliando. Supondo que estamos interessados em encontrar o número de bactérias após 5 horas, temos:
Resposta
A quantidade de bactérias, em relação ao número inicial, é $ 243N $. Portanto, a resposta correta é a alternativa c) 243N.