Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. Calcule o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Você tem um triângulo com lados medindo 3, 4 e 6. Precisamos calcular o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo. Para isso, vamos usar a Lei dos Cossenos, que é super útil quando conhecemos os três lados de um triângulo e queremos encontrar algum ângulo.

Passo 2

Primeiro, identifique qual é o maior ângulo. No triângulo, o maior ângulo está sempre oposto ao maior lado. Aqui, o maior lado é 6, então o maior ângulo está oposto a esse lado.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um dos seus ângulos. A fórmula é:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(gamma)
Onde:
  • $ c $ é o lado oposto ao ângulo $ \gamma $ (no nosso caso, 6),
  • $ a $ e $ b $ são os outros dois lados (3 e 4),
  • $ \gamma $ é o maior ângulo que queremos encontrar.

Passo 4

Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
6^2 = 3^2 + 4^2 - 2 times 3 times 4 times cos(gamma)
Calculando os quadrados:
36 = 9 + 16 - 24 cos(gamma)

Passo 5

Somamos os valores dentro da equação:
36 = 25 - 24 cos(gamma)
Agora, vamos isolar o termo que contém o cosseno:
36 - 25 = -24 cos(gamma)
11 = -24 cos(gamma)

Passo 6

Resolvemos para $ \cos(\gamma) $:
cos(gamma)
Simplificando:
cos(gamma) = 11-24

Resposta

O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é $ \cos(\gamma) = -\dfrac{11}{24} $.

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