As lâmpadas incandescentes contam com um filamento de tungstênio que recebe a corrente elétrica para emitir luz no ambiente. Suponha que o tempo de vida, em horas, de certa lâmpada incandescente pode ser modelado pela distribuição Exponencial com parâmetro 1/1000. Selecionada uma lâmpada ao acaso, calcule:
A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas de uso, sabendo-se que durou mais de 600 horas.
A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas de uso, sabendo-se que durou mais de 600 horas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de probabilidade usando a distribuição Exponencial. A questão nos pede para encontrar a probabilidade de uma lâmpada incandescente que já durou mais de 600 horas se queimar entre 600 e 700 horas. Para isso, vamos precisar entender a distribuição Exponencial e como calcular probabilidades condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição Exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de uma lâmpada. A função de densidade de probabilidade (pdf) da distribuição Exponencial é dada por:
onde
é o parâmetro da distribuição. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, queremos calcular a probabilidade condicional $ P(600 < T < 700 \mid T > 600) $. A probabilidade condicional $ P(A \mid B) $ é dada por:
No nosso caso, $ A $ é o evento $ 600 < T < 700 $ e $ B $ é o evento $ T > 600 $.
Passo 4
Uma propriedade importante da distribuição Exponencial é a memória sem memória, que diz que:
Isso significa que, dado que a lâmpada já durou mais de $ s $ horas, a probabilidade de ela durar mais $ t $ horas é a mesma que a probabilidade de durar $ t $ horas a partir do início.
Passo 5
Aplicando a propriedade de memória sem memória, temos:
Isso simplifica nosso cálculo, pois agora precisamos encontrar a probabilidade de a lâmpada se queimar nas próximas 100 horas após já ter durado 600 horas.
Passo 6
Para calcular $ P(0 < T < 100) $ na distribuição Exponencial, usamos a função de distribuição acumulada (CDF):
Substituindo $ t = 100 $ e $ \lambda = \frac{1}{1000} $:
Passo 7
Calculando o valor numérico:
Resposta
A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas, dado que já durou mais de 600 horas, é aproximadamente 9,52%.