Num laticínio, a temperatura do pasteurizador deve ser de 75^circ C. Se a temperatura ficar inferior a 70^circ C, o leite poderá ficar com bactérias maléficas ao organismo humano. Observações do processo mostram que valores da temperatura seguem uma distribuição normal com média 75,4^circ C e desvio padrão 2,2^circ C.
a) Qual é a probabilidade da temperatura ficar inferior a 70^circ C?
b) Espera-se qual é a probabilidade de que, em 1.000 utilizações do pasteurizador, em mais do que cinco vezes a temperatura não atinja 70^circ C? [$ ı]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pasteurizador que deve manter a temperatura de 75°C para garantir que o leite fique seguro. Se a temperatura cair abaixo de 70°C, pode haver bactérias prejudiciais. As temperaturas registradas seguem uma distribuição normal com média de 75,4°C e desvio padrão de 2,2°C.
Vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e, para a segunda parte, também de distribuição binomial ou aproximação normal para a binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual é a probabilidade da temperatura ficar inferior a 70°C?
Sabemos que a distribuição das temperaturas é normal com média μ = 75,4°C e desvio padrão σ = 2,2°C. Queremos encontrar P(X < 70).
Para isso, vamos padronizar o valor usando o escore Z, que é dado por:
Z = X - musigma

Passo 3

Aplicando os valores:
Z = 70 - 75,42,2 = -5,42,2 approx -2,4545

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a Z = -2,4545 na tabela da distribuição normal padrão. Essa probabilidade nos dará P(X < 70).
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que P(Z < -2,4545) ≈ 0,0072.

Passo 5

Portanto, a probabilidade da temperatura ficar abaixo de 70°C é de aproximadamente 0,72%.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): Qual é a probabilidade de que, em 1.000 utilizações do pasteurizador, mais de cinco vezes a temperatura não atinja 70°C?
Aqui, estamos lidando com um grande número de tentativas (n = 1000) e queremos a probabilidade de mais de k = 5 sucessos, onde um “sucesso” é a temperatura ficar abaixo de 70°C (com probabilidade p = 0,0072, da parte a)).
Isso se encaixa em uma distribuição binomial, mas como n é grande e p é pequeno, podemos usar a aproximação normal para simplificar.

Passo 7

Primeiro, calculamos a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
mu = n times p = 1000 times 0,0072 = 7,2
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz1000 times 0,0072 times 0,9928 approx 2,68

Passo 8

Queremos encontrar P(X > 5). Usando a aproximação normal:
Primeiro, padronizamos o valor X = 5:
Z = 5 - 7,22,68 approx -2,22,68 approx -0,8209

Passo 9

A probabilidade P(X > 5) é equivalente a P(Z > -0,8209). Consultando a tabela da distribuição normal padrão, P(Z > -0,8209) ≈ 0,793.

Passo 10

Portanto, a probabilidade de, em 1.000 utilizações, mais de cinco vezes a temperatura não atingir 70°C é de aproximadamente 79,3%.

Resposta

a) A probabilidade da temperatura ficar inferior a é de aproximadamente 0,72%.
b) A probabilidade de que, em 1.000 utilizações do pasteurizador, mais de cinco vezes a temperatura não atinja é de aproximadamente 79,3%.

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