Na produção de rolhas de cortiça, não é possível garantir qualidade homogênea, devido às variações internas nas placas de cortiça. Em função disso, um equipamento separa as rolhas que saem da linha de produção em duas categorias: A e B. Os dados históricos mostram que
são classificadas como A e
como B. O fabricante vende por
o milhar de rolhas da categoria A; e por
o milhar da categoria B.
Um comprador propõe comprar a produção diária da fábrica. Ele fará um plano de amostragem, extraindo 8 rolhas aleatoriamente. Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A, ele paga
; caso contrário, ele paga
. Pede-se:
a) Qual é a probabilidade de o comprador encontrar mais que 5 rolhas da classe A?
b) Qual é o valor esperado da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendidas, se ele aceitar a proposta do comprador? Em termos do valor esperado da venda, a proposta do comprador é mais vantajosa do que a venda separada por categoria?
c) Qual é a variância da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendidas, se ele aceitar a proposta do comprador?
Um comprador propõe comprar a produção diária da fábrica. Ele fará um plano de amostragem, extraindo 8 rolhas aleatoriamente. Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A, ele paga
a) Qual é a probabilidade de o comprador encontrar mais que 5 rolhas da classe A?
b) Qual é o valor esperado da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendidas, se ele aceitar a proposta do comprador? Em termos do valor esperado da venda, a proposta do comprador é mais vantajosa do que a venda separada por categoria?
c) Qual é a variância da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendidas, se ele aceitar a proposta do comprador?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz rolhas de cortiça classificadas em duas categorias: A (40%) e B (60%). O comprador vai amostrar 8 rolhas aleatoriamente e, dependendo de quantas forem da categoria A, ele pagará um valor diferente. Queremos calcular a probabilidade de o comprador encontrar mais de 5 rolhas da categoria A.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos eventos com duas possíveis classificações (neste caso, A ou B) e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos (rolhas A) em um número fixo de tentativas (8 rolhas).
Passo 2
A Distribuição Binomial é definida por dois parâmetros:
- n: número de tentativas (neste caso, 8 rolhas).
- p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (neste caso, 40% ou 0,4 para a categoria A).
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de encontrar mais de 5 rolhas da categoria A, ou seja,
. Isso significa que precisamos calcular
,
e
, e depois somar essas probabilidades.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente usando a fórmula da distribuição binomial.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, somamos as probabilidades dos três casos para obter
:
Resposta
A probabilidade de o comprador encontrar mais que 5 rolhas da categoria A é aproximadamente 4,95%.