Na produção de rolhas de cortiça, não é possível garantir qualidade homogênea, devido às variações internas nas placas de cortiça. Em função disso, um equipamento separa as rolhas que saem da linha de produção em duas categorias: A e B. Os dados históricos mostram que 40 % são classificadas como A e 60 % como B. O fabricante vende por R o milhar de rolhas da categoria A; e por o milhar de rolhas da categoria A; e por o milhar da categoria B.
Um comprador propõe comprar a produção diária da fábrica. Ele fará um plano de amostragem, extraindo 8 rolhas aleatoriamente. Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A, ele paga 60,00; caso contrário, ele paga R . Pede-se:
a) Qual é a probabilidade de o comprador encontrar mais que 5 rolhas da classe A?
b) Qual é o valor esperado da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendidas, se ele aceitar a proposta do comprador? Em termos do valor esperado da venda, a proposta do comprador é mais vantajosa do que a venda separada por categoria?
c) Qual é a variância da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendidas, se ele aceitar a proposta do comprador?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz rolhas de cortiça classificadas em duas categorias: A (40%) e B (60%). O comprador vai amostrar 8 rolhas aleatoriamente e, dependendo de quantas forem da categoria A, ele pagará um valor diferente. Queremos calcular a probabilidade de o comprador encontrar mais de 5 rolhas da categoria A.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos eventos com duas possíveis classificações (neste caso, A ou B) e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos (rolhas A) em um número fixo de tentativas (8 rolhas).

Passo 2

A Distribuição Binomial é definida por dois parâmetros:
  • n: número de tentativas (neste caso, 8 rolhas).
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (neste caso, 40% ou 0,4 para a categoria A).
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de encontrar mais de 5 rolhas da categoria A, ou seja, . Isso significa que precisamos calcular , e , e depois somar essas probabilidades.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente usando a fórmula da distribuição binomial.
Para P(X = 6) = binom86 times 0,4^6 times 0,6^2 :
binom86 = 28
P(X = 6) = 28 times 0,4^6 times 0,6^2 approx 28 times 0,004096 times 0,36 approx 0,0410
P(X = 7) = binom87 times 0,4^7 times 0,6^1
Para binom87 = 8 :
P(X = 7) = 8 times 0,4^7 times 0,6 approx 8 times 0,0016384 times 0,6 approx 0,0079
P(X = 8) = binom88 times 0,4^8 times 0,6^0
binom88 = 1
Para P(X = 8) = 1 times 0,4^8 times 1 approx 0,00065536 :

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades dos três casos para obter P(X > 5) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) approx 0,0410 + 0,0079 + 0,00065536 approx 0,0495 :

Resposta

A probabilidade de o comprador encontrar mais que 5 rolhas da categoria A é aproximadamente 4,95%.

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