O padrão de qualidade recomenda que os pontos impressos por uma impressora estejam entre 3,7 e 4,3 mm. Uma impressora imprime pontos, cujo diâmetro médio é igual a 4 mm e o desvio padrão é 0,19 mm. Suponha que o diâmetro dos pontos tenha distribuição normal.
a) Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto dessa impressora estar dentro do Padrão?
b) Qual deveria ser o desvio padrão para que a probabilidade do item (a) atingisse 95%?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que fala sobre a qualidade dos pontos impressos por uma impressora. A gente vai trabalhar com estatística, especificamente com distribuição normal. Precisamos calcular a probabilidade dos pontos estarem dentro do padrão recomendado e também descobrir qual deve ser o desvio padrão para alcançar uma certa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte a): queremos saber a probabilidade de um ponto ter diâmetro entre 3,7 mm e 4,3 mm. Sabemos que a média é 4 mm e o desvio padrão é 0,19 mm. Como a distribuição é normal, podemos usar a tabela Z ou a função da distribuição normal para encontrar essa probabilidade.

Passo 3

Vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore Z:
Z = X - musigma
Onde:
  • Z1 = 3,7 - 40,19 approx -0,30,19 approx -1,58 é o valor que estamos avaliando,
  • Z2 = 4,3 - 40,19 approx 0,30,19 approx 1,58 é a média,
  • é o desvio padrão.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de P(-1,58 <= Z <= 1,58) approx 0,1149 + 0,5 + 0,1149 = 0,828 estar entre -1,58 e 1,58. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora:
Ou seja, aproximadamente 82,8% de chance.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): queremos que a probabilidade do diâmetro estar dentro do padrão seja de 95%. Precisamos encontrar qual deve ser o novo desvio padrão 1,96 = 0,3sigma .
Sabemos que para 95% na distribuição normal, os valores de sigma = 0,31,96 approx 0,153 mm são aproximadamente .
Usando a fórmula do Z para os limites:

Resposta

a) A probabilidade do diâmetro de um ponto estar dentro do padrão é de aproximadamente 82,8%.
b) O desvio padrão necessário para que a probabilidade atinja 95% é de aproximadamente 0,153 mm.

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