O padrão de qualidade recomenda que os pontos impressos por uma impressora estejam entre 3,7 e
. Uma impressora imprime pontos, cujo diâmetro médio é igual a 4 mm e o desvio padrão é
. Suponha que o diâmetro dos pontos tenha distribuição normal.
a) Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto dessa impressora estar dentro do Padrão?
b) Qual deveria ser o desvio padrão para que a probabilidade do item (a) atingisse 95%?
a) Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto dessa impressora estar dentro do Padrão?
b) Qual deveria ser o desvio padrão para que a probabilidade do item (a) atingisse 95%?
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que fala sobre a qualidade dos pontos impressos por uma impressora. A gente vai trabalhar com estatística, especificamente com distribuição normal. Precisamos calcular a probabilidade dos pontos estarem dentro do padrão recomendado e também descobrir qual deve ser o desvio padrão para alcançar uma certa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte a): queremos saber a probabilidade de um ponto ter diâmetro entre 3,7 mm e 4,3 mm. Sabemos que a média é 4 mm e o desvio padrão é 0,19 mm. Como a distribuição é normal, podemos usar a tabela Z ou a função da distribuição normal para encontrar essa probabilidade.
Passo 3
Vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore Z:
Onde:
-
é o valor que estamos avaliando, -
é a média, -
é o desvio padrão.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
estar entre -1,58 e 1,58. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora:
Ou seja, aproximadamente 82,8% de chance.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): queremos que a probabilidade do diâmetro estar dentro do padrão seja de 95%. Precisamos encontrar qual deve ser o novo desvio padrão
.
Sabemos que para 95% na distribuição normal, os valores de
são aproximadamente
.
Usando a fórmula do Z para os limites:
Resposta
a) A probabilidade do diâmetro de um ponto estar dentro do padrão é de aproximadamente 82,8%.
b) O desvio padrão necessário para que a probabilidade atinja 95% é de aproximadamente 0,153 mm.