A Lei do movimento de um ponto material é:
S=1,00 cdot t^3-9,00 cdot t^2+15,0 cdot t+5,00
Determinar:
b) Existe inversão do sentido do movimento? Em que instantes ocorrem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que descreve o movimento de um ponto material ao longo do tempo:
S = 1,00 cdot t^3 - 9,00 cdot t^2 + 15,0 cdot t + 5,00
Estamos trabalhando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. O que precisamos fazer aqui é descobrir se o sentido do movimento desse ponto muda em algum momento, ou seja, se ele para e volta na direção oposta. Para isso, vamos analisar a velocidade do ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do ponto, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função $ S $ em relação a $ t $:
S

Passo 3

Agora, para descobrir quando a velocidade muda de sinal (ou seja, quando o sentido do movimento inverte), precisamos encontrar os instantes em que a velocidade é zero. Vamos resolver a equação:
3,00 cdot t^2 - 18,00 cdot t + 15,0 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
t^2 - 6t + 5 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Lembrando que, para uma equação $ at^{2} + bt + c = 0 $, as raízes são:
at^2 + bt + c = 0
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -6 $, e $ c = 5 $:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, as soluções são:
a = 1

Passo 5

Agora que encontramos os instantes $ t = 1 $ e $ t = 5 $ onde a velocidade é zero, precisamos verificar se a velocidade realmente muda de sinal nesses pontos. Para isso, podemos escolher valores de $ t $ em intervalos ao redor desses pontos e ver se a velocidade passa de positiva para negativa ou vice-versa.
  • Para $ t = 0.5 $ (antes de 1):
    t = 1
  • Para $ t = 2 $ (entre 1 e 5):
    t = 5
  • Para $ t = 6 $ (depois de 5):
    t

Resposta

Sim, ocorre uma inversão do sentido do movimento nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 5 $.

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