Levando em consideração a transferência de calor nas superfícies superior e inferior da placa, e desprezando efeitos da radiação e de condução: a) determine a taxa de variação com o tempo da temperatura da placa a uma distância na aresta de saída.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está lidando com transferência de calor numa placa, considerando apenas a transferência nas superfícies superior e inferior. Estamos descartando os efeitos da radiação e da condução. O que precisamos fazer é determinar a taxa de variação com o tempo da temperatura da placa em um ponto específico, a uma certa distância da aresta de saída. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de condução de calor e como ela se aplica ao nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transferência de calor em um meio sólido pode ser descrita pela equação de condução de calor. Como estamos interessados na variação da temperatura com o tempo, vamos focar na forma transiente da equação. Em uma dimensão, essa equação é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a posição na placa, e é a difusividade térmica do material da placa.

Passo 3

No nosso caso, queremos achar a taxa de variação da temperatura com o tempo em um ponto específico, digamos partial Tpartial tg|x = x0 = alpha partial^2 Tpartial x^2g|x = x0 . Isso significa que precisamos calcular em .
De acordo com a equação acima, isso será:
Então, para encontrar essa taxa de variação, precisamos da segunda derivada da temperatura em relação à posição no ponto .

Passo 4

Para calcular em , precisaríamos da distribuição espacial da temperatura na placa. Se considerarmos condições de contorno e uma solução estacionária ou simplificações adicionais, poderíamos resolver isso de forma mais específica. Porém, como o enunciado não fornece detalhes adicionais, deixaremos a expressão em termos da segunda derivada espacial.

Passo 5

Assim, concluímos que a taxa de variação da temperatura com o tempo na posição é diretamente proporcional à segunda derivada espacial da temperatura naquele ponto, multiplicada pela difusividade térmica do material.

Resposta

A taxa de variação com o tempo da temperatura da placa a uma distância partial Tpartial tg|x = x0 = alpha partial^2 Tpartial x^2g|x = x0 da aresta de saída é dada por:

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