lim x 0^+ x^x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever x^x^2 = e^x^2 ln x usando a propriedade dos logaritmos que diz que . Assim, temos:
Isso facilita o cálculo do limite, pois agora precisamos encontrar .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Sabemos que tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, mas tende a 0. Temos uma forma indeterminada do tipo , então vamos reescrever o limite como uma fração para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Reescrevemos o limite assim:
lim x 0^+ x^2 ln x = lim x 0^+ ln x1x^2
Agora, temos uma forma , que ainda é indeterminada. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador.

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador:
Numerador: ddx (ln x) = 1x
Denominador: ddx (1x^2) = -2x^3
Então o limite fica:
lim x 0^+ 1x-2x^3 = lim x 0^+ -x^22 = 0

Resposta

Portanto, o limite é igual a , já que .

Exercícios relacionados

Use o roteiro abaixo para cada uma das funções deste exercício:
  • Dê o domínio de f;
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos;
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem;
  • Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem;
  • Esboce o gráfico.
$f(x)=8 x-1,3 \leq x \leq \infty$
Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de $f(x)$ nos seus respectivos intervalos.
lim x +infty(e^x+2021 x)^1x