lim x +infty(e^x+2021 x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que encontrar o limite quando tende a mais infinito da expressão . Aqui, vamos usar conceitos de limites no cálculo, especialmente lidando com funções exponenciais e crescimento de funções. Vamos precisar entender como funções como e se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro do parênteses: . Sabemos que cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como quando vai para o infinito. Então, vai dominar a expressão.

Passo 3

Como (e^x + 2021x)^1x approx (e^x)^1x é muito maior que para valores grandes de , podemos dizer que é aproximadamente igual a quando tende a infinito. Assim, nossa expressão fica mais simples:

Passo 4

Agora, vamos simplificar (e^x)^1x = e^x cdot 1x = e^1 = e . Lembrando das propriedades dos expoentes, quando temos uma potência baseada em outra potência, multiplicamos os expoentes. Então:

Passo 5

Então, vimos que quando tende a mais infinito, se comporta praticamente igual a . Portanto, o limite é:

Resposta

lim x +infty(e^x+2021 x)^1x = e

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