Listando-se, em ordem crescente, todos os números de cinco dígitos formados com os algarismos 1, 3, 5, 6 e 7, pode-se afirmar corretamente que, nesta lista, a quantidade de números menores do que 61 573 seria de quanto? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para listar todos os números de cinco dígitos que podemos formar com os algarismos 1, 3, 5, 6 e 7, em ordem crescente. A gente precisa descobrir quantos desses números são menores que 61 573. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação e analisar cada posição dos dígitos para contar quantas combinações atendem à condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que temos 5 algarismos distintos: 1, 3, 5, 6 e 7. Cada número de cinco dígitos será uma permutação desses algarismos. O total de números possíveis é dado por 5! = 120.

Passo 3

Agora, queremos contar quantos desses números são menores que 61 573. Para isso, vamos analisar dígito a dígito, da esquerda para a direita.

Passo 4

Primeiro dígito:
O primeiro dígito do número que estamos comparando é 6. Para que o número seja menor que 61 573, o primeiro dígito precisa ser menor que 6. Dos algarismos disponíveis, os menores que 6 são 1, 3 e 5. Então, temos 3 opções para o primeiro dígito.
Para cada uma dessas 3 opções, os 4 dígitos restantes podem ser organizados de 4! = 24 maneiras.
Portanto, números com o primeiro dígito menor que 6: 3 times 24 = 72.

Passo 5

Segundo dígito:
Agora, consideramos os números que têm o primeiro dígito igual a 6. O número comparativo é 61 573, então precisamos que o segundo dígito seja menor que 1. Porém, entre os algarismos disponíveis (1, 3, 5, 7), nenhum é menor que 1. Isso significa que não há números adicionais com o primeiro dígito 6 e segundo dígito menor que 1.

Passo 6

Terceiro dígito:
Como o segundo dígito não pode ser menor que 1, vamos para o terceiro dígito. O número comparativo tem o terceiro dígito 5. Mantendo os primeiros dois dígitos como 6 e 1, precisamos que o terceiro dígito seja menor que 5. Os algarismos disponíveis restantes são 3, 5, 7. Apenas 3 é menor que 5.
Então, há 1 opção para o terceiro dígito.
Os 2 dígitos restantes podem ser organizados de 2! = 2 maneiras.
Portanto, números com os três primeiros dígitos menores que 615: 1 times 2 = 2.

Passo 7

Quarto dígito:
Agora, considerando os três primeiros dígitos iguais a 615, o número comparativo tem o quarto dígito 7. Os algarismos disponíveis são 3 e 7. Queremos que o quarto dígito seja menor que 7, ou seja, apenas 3.
Então, há 1 opção para o quarto dígito.
O último dígito será automaticamente 7.
Portanto, há 1 número adicional: 61537.

Passo 8

Quinto dígito:
Finalmente, considerando os quatro primeiros dígitos iguais a 6153, o último dígito do número comparativo é 3. Porém, o único dígito restante seria 7, que já é maior que 3, então não há mais números a adicionar nessa etapa.

Resposta

Somando tudo, temos:
  • 72 números com o primeiro dígito menor que 6.
  • 2 números com os três primeiros dígitos menores que 615.
  • 1 número específico: 61537.
Total: 72 + 2 + 1 = 75.
Portanto, existem 75 números menores que 61 573 nessa lista.

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