S = 1/(2.log2 2016) + 1/(5.log3 2016) + 1/(10.log7 2016) O valor de S é
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/5
d) 1/7
e) 1/10
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/5
d) 1/7
e) 1/10
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ S $ que é dado por:
Para isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e manipular as expressões para simplificar e encontrar qual das alternativas (a, b, c, d ou e) corresponde ao valor de $ S $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos chamada mudança de base. Ela nos permite converter logaritmos de uma base para outra. A fórmula é:
Normalmente, usamos a base 10 ou a base $ e $ (logaritmo natural), mas podemos escolher qualquer base que nos ajude a simplificar a expressão.
Passo 3
Aplicando a mudança de base com base 10 para cada termo de $ S $, temos:
Substituindo essas expressões em $ S $:
Passo 4
Simplificando cada fração, vamos inverter o denominador:
Agora, como todas as frações têm o mesmo denominador $ \log 2016 $, podemos fatorar ele:
Passo 5
Vamos calcular o numerador da expressão acima:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para as frações, que é 10:
Passo 6
Agora, podemos escrever $ S $ como:
Vamos calcular o denominador agora. Primeiro, precisamos expressar $ \log 2016 $ em termos dos logaritmos das bases que temos.
Sabemos que $ 2016 = 2^{5} \times 3^{2} \times 7^{1} $. Portanto:
Passo 7
Substituindo $ \log 2016 $ na expressão de $ S $:
Observamos que o numerador e o denominador são iguais, exceto pelo fator 10 no denominador.
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
O valor de $ S $ é $ \boxed{\dfrac{1}{10}} $ (alternativa e).