S = 1/(2.log2 2016) + 1/(5.log3 2016) + 1/(10.log7 2016) O valor de S é
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/5
d) 1/7
e) 1/10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ S $ que é dado por:
S
Para isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e manipular as expressões para simplificar e encontrar qual das alternativas (a, b, c, d ou e) corresponde ao valor de $ S $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos chamada mudança de base. Ela nos permite converter logaritmos de uma base para outra. A fórmula é:
loga b = logc blogc a
Normalmente, usamos a base 10 ou a base $ e $ (logaritmo natural), mas podemos escolher qualquer base que nos ajude a simplificar a expressão.

Passo 3

Aplicando a mudança de base com base 10 para cada termo de $ S $, temos:
S
Substituindo essas expressões em $ S $:
log2 2016 = log 2016log 2, log3 2016 = log 2016log 3, log7 2016 = log 2016log 7

Passo 4

Simplificando cada fração, vamos inverter o denominador:
S = log 22 cdot log 2016 + log 35 cdot log 2016 + log 710 cdot log 2016
Agora, como todas as frações têm o mesmo denominador $ \log 2016 $, podemos fatorar ele:
log 2016
S = log 22 cdot 1log 2016 + log 35 cdot 1log 2016 + log 710 cdot 1log 2016

Passo 5

Vamos calcular o numerador da expressão acima:
log 22 + log 35 + log 710
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para as frações, que é 10:
5 log 210 + 2 log 310 + 1 log 710 = 5 log 2 + 2 log 3 + log 710

Passo 6

Agora, podemos escrever $ S $ como:
S
Vamos calcular o denominador agora. Primeiro, precisamos expressar $ \log 2016 $ em termos dos logaritmos das bases que temos.
Sabemos que $ 2016 = 2^{5} \times 3^{2} \times 7^{1} $. Portanto:
S = 5 log 2 + 2 log 3 + log 710 cdot log 2016

Passo 7

Substituindo $ \log 2016 $ na expressão de $ S $:
log 2016
Observamos que o numerador e o denominador são iguais, exceto pelo fator 10 no denominador.

Passo 8

Simplificando a expressão:
S = 110

Resposta

O valor de $ S $ é $ \boxed{\dfrac{1}{10}} $ (alternativa e).

Exercícios relacionados