De um lote com 20 peças, das quais 4 são defeituosas são escolhidas 3 ao acaso. Seja X o número de peças defeituosas encontradas. Calcule o valor esperado e o desvio padrão de X , supondo que as peças são escolhidas:
a) sem reposição;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um lote com 20 peças, das quais 4 são defeituosas. A gente vai escolher 3 peças aleatórias e quer descobrir duas coisas: o valor esperado (que é a média esperada do número de peças defeituosas que a gente pode encontrar) e o desvio padrão (que mostra o quanto os resultados podem variar em relação à média). Tudo isso considerando que a escolha das peças é feita sem reposição, ou seja, uma vez que uma peça é escolhida, ela não volta para o lote.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma distribuição hipergeométrica, porque temos uma população finita sem reposição. A fórmula para o valor esperado $ E(X) $ na distribuição hipergeométrica é:
E(X)
Onde:
  • $ n $ é o número de peças escolhidas (3 peças),
  • $ K $ é o número de peças defeituosas (4 peças),
  • $ N $ é o total de peças (20 peças).

Passo 3

Vamos calcular o valor esperado $ E(X) $:
E(X)
Isso significa que, em média, esperamos encontrar 0,6 peças defeituosas nas 3 que forem escolhidas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, precisamos da variância $ Var(X) $ na distribuição hipergeométrica, que é dada por:
Var(X)
Vamos substituir os valores:
Var(X) = n times KN times (1 - KN) times N - nN - 1

Passo 5

Simplificando os cálculos passo a passo:
Var(X) = 3 times 0,2 times 0,8 times 1719
Var(X) = 3 times 0,2 = 0,6
0,6 times 0,8 = 0,48
0,48 times 1719 approx 0,48 times 0,8947 approx 0,429

Passo 6

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raizVar(X) = raiz0,429 approx 0,655 ã

Resposta

O valor esperado de $ X $ é aproximadamente 0,6 peças defeituosas, e o desvio padrão de $ X $ é aproximadamente 0,655 peças.

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