De um lote com 20 peças, das quais 4 são defeituosas são escolhidas 3 ao acaso. Seja X o número de peças defeituosas encontradas. Calcule o valor esperado e o desvio padrão de X , supondo que as peças são escolhidas:
a) sem reposição;
a) sem reposição;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um lote com 20 peças, das quais 4 são defeituosas. A gente vai escolher 3 peças aleatórias e quer descobrir duas coisas: o valor esperado (que é a média esperada do número de peças defeituosas que a gente pode encontrar) e o desvio padrão (que mostra o quanto os resultados podem variar em relação à média). Tudo isso considerando que a escolha das peças é feita sem reposição, ou seja, uma vez que uma peça é escolhida, ela não volta para o lote.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma distribuição hipergeométrica, porque temos uma população finita sem reposição. A fórmula para o valor esperado $ E(X) $ na distribuição hipergeométrica é:
Onde:
- $ n $ é o número de peças escolhidas (3 peças),
- $ K $ é o número de peças defeituosas (4 peças),
- $ N $ é o total de peças (20 peças).
Passo 3
Vamos calcular o valor esperado $ E(X) $:
Isso significa que, em média, esperamos encontrar 0,6 peças defeituosas nas 3 que forem escolhidas.
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, precisamos da variância $ Var(X) $ na distribuição hipergeométrica, que é dada por:
Vamos substituir os valores:
Passo 5
Simplificando os cálculos passo a passo:
Passo 6
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é aproximadamente 0,6 peças defeituosas, e o desvio padrão de $ X $ é aproximadamente 0,655 peças.