Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição de probabilidade:
X -2 -1 0 1 c|c|c|c|c|c hline X & -2 & -1 & 0 & 1 & $2$ hline $P(X=x)$ & 0,1 & 0,3 & 0,1 & 0,2 & 0,3 hline
Y=X^2+1 0,1 0,3 0,1 0,2 0,3
b) Seja E(Y). Obtenha Var(Y) e .

Passo 1

Vamos resolver juntos este exercício sobre probabilidades! Primeiro, temos uma variável aleatória $ X $ com uma distribuição de probabilidade específica. O que precisamos fazer é calcular a esperança matemática ($ \mathrm{E}(Y) X â \operatorname{Var}(Y) $) da nova variável $ Y $, que é definida como $ Y = X^2 + 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de esperança e variância de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança matemática de $ Y $, ou seja, $ \mathrm{E}(Y) $. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores que $ Y $ pode assumir, ponderada pelas probabilidades correspondentes.

Passo 3

Sabemos que $ Y = X^2 + 1 $. Então, para cada valor de $ X $, vamos calcular $ Y $:
Y = X^2 + 1

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \mathrm{E}(Y) $ somando os produtos de cada valor de $ Y $ pelas suas respectivas probabilidades:
E(Y)
Calculando cada termo:
Y
Somando todos:
E(Y) = (5 times 0,1) + (2 times 0,3) + (1 times 0,1) + (2 times 0,2) + (5 times 0,3)
Então, $ \mathrm{E}(Y) = 3,1 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de $ Y $, $ \operatorname{Var}(Y) $. A variância mede o quanto os valores de $ Y $ estão espalhados em relação à sua média.
Primeiro, precisamos calcular $ \mathrm{E}(Y^2) $, que é a esperança do quadrado de $ Y $:
Y
Vamos calcular $ Y^2 $ para cada valor de $ X $:
Var(Y)

Passo 6

Agora, calculamos $ \mathrm{E}(Y^2) $:
E(Y^2)
Calculando cada termo:
E(Y^2) = (25 times 0,1) + (4 times 0,3) + (1 times 0,1) + (4 times 0,2) + (25 times 0,3)
Somando todos:
25 times 0,1 = 2,5 4 times 0,3 = 1,2 1 times 0,1 = 0,1 4 times 0,2 = 0,8 25 times 0,3 = 7,5
Então, $ \mathrm{E}(Y^2) = 12,1 $.

Passo 7

Finalmente, usamos a fórmula da variância:
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2
Substituindo os valores que encontramos:
Var(Y) = 12,1 - (3,1)^2 = 12,1 - 9,61 = 2,49

Resposta

E(Y) = 3,1 e Var(Y) = 2,49

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