Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição de probabilidade:
X
-2
-1
0
1
0,1
0,3
0,1
0,2
0,3
b) Seja
. Obtenha
e
.
X | -2 | -1 | 0 | 1 |
|
|
0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
Passo 1
Vamos resolver juntos este exercício sobre probabilidades! Primeiro, temos uma variável aleatória $ X $ com uma distribuição de probabilidade específica. O que precisamos fazer é calcular a esperança matemática ($ \mathrm{E}(Y)
\operatorname{Var}(Y) $) da nova variável $ Y $, que é definida como $ Y = X^2 + 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de esperança e variância de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança matemática de $ Y $, ou seja, $ \mathrm{E}(Y) $. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores que $ Y $ pode assumir, ponderada pelas probabilidades correspondentes.
Passo 3
Sabemos que $ Y = X^2 + 1 $. Então, para cada valor de $ X $, vamos calcular $ Y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \mathrm{E}(Y) $ somando os produtos de cada valor de $ Y $ pelas suas respectivas probabilidades:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Então, $ \mathrm{E}(Y) = 3,1 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de $ Y $, $ \operatorname{Var}(Y) $. A variância mede o quanto os valores de $ Y $ estão espalhados em relação à sua média.
Primeiro, precisamos calcular $ \mathrm{E}(Y^2) $, que é a esperança do quadrado de $ Y $:
Vamos calcular $ Y^2 $ para cada valor de $ X $:
Passo 6
Agora, calculamos $ \mathrm{E}(Y^2) $:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Então, $ \mathrm{E}(Y^2) = 12,1 $.
Passo 7
Finalmente, usamos a fórmula da variância:
Substituindo os valores que encontramos: