O lucro de uma empresa é dado por L=F-C, onde L é o lucro, o faturamento F e C o custo. Sabe-se que para x unidades, o faturamento e o custo variam de acordo com as equações f(x)=1500x-x² e C(x)=x²-500x. Nessas condições, qual será o lucro máximo dessa empresa e quantas peças deverão produzir?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o lucro de uma empresa, que é calculado pela diferença entre o faturamento (F) e o custo ©, ou seja, $ L = F - C
x $):
- Faturamento: $ F(x) = 1500x - x^2 $
- Custo: $ C(x) = x^2 - 500x $
Nosso objetivo é descobrir qual é o lucro máximo que essa empresa pode obter e quantas unidades ela deve produzir para alcançar esse lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função do lucro $ L(x) $ substituindo as expressões de $ F(x) $ e $ C(x) $ na fórmula $ L = F - C $.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão de $ L(x) $:
Então, temos:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos identificar o ponto de máximo dessa função quadrática. Em funções do tipo $ ax^2 + bx + c $, o ponto de máximo ou mínimo está na coordenada $ x = -\frac{b}{2a} $.
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 2000 $. Vamos calcular:
Então, a empresa deve produzir 500 unidades para atingir o lucro máximo.
Passo 5
Agora, vamos calcular o lucro máximo substituindo $ x = 500 $ na função $ L(x) $:
Resposta
O lucro máximo da empresa é de R$ 500.000, e para alcançá-lo, a empresa deve produzir 500 unidades.