Uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 1,9 cm está ligada a um borrifador (estacionário) que é composto apenas por um recipiente com 24 furos de 0,13 cm de diâmetro. Se a água circula na mangueira com uma velocidade de 0,91 m/s, com que velocidade água sai dos furos do borrifador?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 1,9 cm ligada a um borrifador com 24 furos, cada um de 0,13 cm de diâmetro. A velocidade da água na mangueira é de 0,91 m/s, e queremos descobrir com que velocidade a água sai desses furos do borrifador.
Vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade, que nos ajuda a relacionar áreas e velocidades em diferentes partes de um sistema de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da mangueira. A fórmula da área de um círculo é $ A = \pi \times r^2 $, onde $ r $ é o raio.
Como o diâmetro da mangueira é 1,9 cm, o raio será metade disso:
A = pi times r^2
Convertendo para metros:
r
Agora, calculamos a área da mangueira:
rmangueira = 1,9,cm2 = 0,95,cm

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a área total dos 24 furos do borrifador. Primeiro, encontramos a área de um furo e depois multiplicamos por 24.
O diâmetro de cada furo é 0,13 cm, então o raio é:
rfuro = 0,13,cm2 = 0,065,cm
Convertendo para metros:
0,065,cm = 0,00065,m
Área de um furo:
Afuro = pi times (0,00065,m)^2 approx 1,327 times 10^-6,m^2
Área total dos 24 furos:
Atotal,furos = 24 times 1,327 times 10^-6,m^2 approx 3,185 times 10^-5,m^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a equação da continuidade, que diz que a quantidade de água que entra na mangueira deve ser igual à quantidade que sai pelos furos.
A equação é:
Aentrada times Ventrada = Asaida times Vsaida
Onde:
  • $ A_{entrada} $ é a área da mangueira
  • $ V_{entrada} $ é a velocidade da água na mangueira
  • $ A_{saida} $ é a área total dos furos
  • $ V_{saida} $ é a velocidade da água nos furos (o que queremos encontrar)

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para resolver $ V_{saida} $:
Vsaida
Substituindo os valores que já calculamos:
Vsaida = Aentrada times VentradaAsaida

Passo 6

Vamos fazer as contas:
Vsaida = 2,836 times 10^-4 times 0,913,185 times 10^-5
Vsaida = 2,581 times 10^-43,185 times 10^-5
Vsaida approx 8,11,m/s

Resposta

A velocidade da água que sai dos furos do borrifador é de aproximadamente 8,11 metros por segundo.

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