Maria vai comprar um carro de luxo, e fez uma pesquisa sobre a desvalorização desses tipos de carros. Ela descobriu que dentre os carros que mais desvalorizam, os carros de luxo são os que mais sofrem a depreciação. Na compra de um Porsche Taycan 4S elétrico ano 2020/2021 com valor de R$ 742.000,00 Maria descobriu que o modelo adquirido sofre uma desvalorização de 10% ao ano, isto é, o carro tem, a cada período, um valor menor do que o valor que tinha um ano antes. Para que o carro perca 70% do seu valor inicial, é necessário que se passe entre:
9 e 10 anos,
12 e 13 anos,
10 e 11 anos, 11 e 12 anos ou
12 e 13 anos.

Passo 1

Então, galera! A Maria está querendo comprar um Porsche Taycan 4S elétrico que custa R$ 742.000,00. Ela descobriu que esse carro desvaloriza 10% todo ano. O objetivo dela é saber em quanto tempo o carro vai perder 70% do valor inicial. Vamos usar matemática pra descobrir em quantos anos isso acontece, aplicando conceitos de depreciação e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma desvalorização de 10% ao ano. Isso quer dizer que, a cada ano, o carro vale 90% do que valia no ano anterior. Matemática falando, se o valor inicial é $ V_0 $, depois de $ n $ anos, o valor $ V_n $ será:
V0
Aqui, $ 0,9 $ representa os 90% que o carro mantém a cada ano.

Passo 3

Queremos saber em quanto tempo o carro perde 70% do valor inicial. Perder 70% significa que ele mantém 30% do valor. Então, queremos encontrar $ n $ tal que:
n
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ V_0 $:
0,3 times V0 = V0 times (0,9)^n

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
ln(0,3) = ln((0,9)^n)
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^b) = b \times \ln(a) $, temos:
ln(a^b) = b times ln(a)

Passo 5

Agora, isolamos $ n $:
n
Calculando os valores:
n = ln(0,3)ln(0,9)
ln(0,3) approx -1,20397
Então:
ln(0,9) approx -0,10536
n approx -1,20397-0,10536

Passo 6

O resultado $ n \approx 11,43 $ significa que a desvalorização de 70% ocorre em pouco mais de 11 anos. Como não podemos ter uma fração de ano nesse contexto, consideramos entre 11 e 12 anos.

Resposta

O carro perde 70% do seu valor inicial entre 11 e 12 anos.

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