Uma massa rigida de peso
, e conectada a duas molas com rigidez de
cada uma. Considerando as vibraçōes translacionais, para amortecimento viscoso
, e condiçōes iniciais de
. Determine: 1.Frequéncia natural do sistema; 2.- Equaçāo de movimento do sistema: 3.- Resposta de vibracāo livre no temoo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma massa rígida que pesa
conectada a duas molas com rigidez
cada. Além disso, tem um amortecimento viscoso com coeficiente
e condições iniciais de deslocamento
e velocidade inicial
. Vamos resolver três coisas aqui: a frequência natural do sistema, a equação de movimento e a resposta de vibração livre no tempo. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas massa-mola-amortecedor e algumas fórmulas de vibrações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa
da massa rígida. Sabemos que o peso
está relacionado à massa pela fórmula:
Onde
é a aceleração da gravidade. Então, rearranjando:
Passo 3
Agora, vamos determinar a rigidez total
das duas molas. Como as molas estão conectadas em paralelo, a rigidez total é a soma das rigidezes individuais:
Passo 4
Com a massa
e a rigidez total
, podemos calcular a frequência natural
do sistema usando a fórmula:
Passo 5
Agora, vamos montar a equação de movimento do sistema. Para um sistema massa-mola-amortecedor sem forças externas, a equação diferencial que descreve o movimento é:
Substituindo os valores que temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 6
Para encontrar a resposta de vibração livre no tempo, vamos resolver a equação diferencial obtida. Primeiro, calculamos o coeficiente de amortecimento
:
Como
, o sistema é subamortecido e a solução geral é:
Onde
. Calculando
:
Agora, substituindo os valores iniciais
e
:
Simplificando:
Resposta
-
Frequência natural do sistema:
-
Equação de movimento do sistema:
- Resposta de vibração livre no tempo: