Uma massa rigida de peso W=200,0 N, e conectada a duas molas com rigidez de 5,0 N / m cada uma. Considerando as vibraçōes translacionais, para amortecimento viscoso c=2 0 N s / m, e condiçōes iniciais de xo=0 , 0 1 m, dotxo=0, 1 m / s. Determine: 1.Frequéncia natural do sistema; 2.- Equaçāo de movimento do sistema: 3.- Resposta de vibracāo livre no temoo,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma massa rígida que pesa conectada a duas molas com rigidez cada. Além disso, tem um amortecimento viscoso com coeficiente e condições iniciais de deslocamento e velocidade inicial . Vamos resolver três coisas aqui: a frequência natural do sistema, a equação de movimento e a resposta de vibração livre no tempo. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas massa-mola-amortecedor e algumas fórmulas de vibrações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa W = m cdot g da massa rígida. Sabemos que o peso m = Wg = 200,0 , N9,81 , m/s^2 approx 20,39 , kg está relacionado à massa pela fórmula:
Onde é a aceleração da gravidade. Então, rearranjando:

Passo 3

Agora, vamos determinar a rigidez total ktotal = k1 + k2 = 5,0 , N/m + 5,0 , N/m = 10,0 , N/m das duas molas. Como as molas estão conectadas em paralelo, a rigidez total é a soma das rigidezes individuais:

Passo 4

Com a massa omegan = raizktotalm = raiz10,0 , N/m20,39 , kg approx raiz0,4905 , s^-2 approx 0,70 , rad/s e a rigidez total , podemos calcular a frequência natural do sistema usando a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos montar a equação de movimento do sistema. Para um sistema massa-mola-amortecedor sem forças externas, a equação diferencial que descreve o movimento é:
m ddotx + c dotx + ktotal x = 0
Substituindo os valores que temos:
20,39 , kg cdot ddotx + 20 , Ns/m cdot dotx + 10,0 , N/m cdot x = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por ddotx + cm dotx + ktotalm x = 0 Rightarrow ddotx + 0,98 dotx + 0,4905 x = 0 :

Passo 6

Para encontrar a resposta de vibração livre no tempo, vamos resolver a equação diferencial obtida. Primeiro, calculamos o coeficiente de amortecimento zeta = c2 raizm ktotal = 202 raiz20,39 cdot 10 = 202 raiz203,9 approx 2028,54 approx 0,70 :
x(t) = e^-zeta omegan t ( x0 cos(omegad t) + ( dotx0 + zeta omegan x0omegad ) sin(omegad t) )
Como omegad = 0,70 , rad/s cdot raiz1 - 0,70^2 approx 0,70 cdot raiz0,51 approx 0,70 cdot 0,714 approx 0,50 , rad/s , o sistema é subamortecido e a solução geral é:
x(t) = e^-0,70 cdot 0,70 cdot t ( 0,01 cos(0,50 t) + ( 0 + 0,70 cdot 0,70 cdot 0,010,50 ) sin(0,50 t) )
Onde x(t) = e^-0,49 t ( 0,01 cos(0,50 t) + 0,0098 sin(0,50 t) ) . Calculando :
Agora, substituindo os valores iniciais e :
Simplificando:

Resposta

  1. Frequência natural do sistema: ddotx + 0,98 dotx + 0,4905 x = 0
  2. Equação de movimento do sistema:
x(t) = e^-0,49 t ( 0,01 cos(0,50 t) + 0,0098 sin(0,50 t) )
  1. Resposta de vibração livre no tempo:

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