A média geométrica de 1, 10, 100, ldots, 1022 é:
A) 10^11.
B) 10^12.
C) 10^13.
D) 10^14.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a média geométrica da sequência . A média geométrica é um conceito da matemática que usamos para encontrar um valor “central” multiplicativo em uma sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média geométrica e identificar todos os termos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a média geométrica. Se tivermos Média Geométrica = raiz[n]a1 times a2 times ldots times an números positivos, a média geométrica é a raiz -ésima do produto desses números. A fórmula é:
éé
No nosso caso, a sequência é . Parece que cada termo é 10 vezes o anterior, mas notamos que 1022 não é exatamente para algum inteiro . Por isso, vamos supor que houve um erro de digitação e o último termo seja ( ), que faz parte da sequência de potências de 10. Assim, nossa sequência fica .

Passo 3

Agora, vamos identificar o número de termos na sequência. Temos:
1 = 10^0, 10 = 10^1, 100 = 10^2, 1000 = 10^3
Então, temos 4 termos no total ( ).

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto desses termos:
1 times 10 times 100 times 1000 = 1 times 10 times 100 times 1000 = 1,000,000

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da média geométrica:
Média Geométrica = raiz[4]1,000,000 éé
Sabemos que raiz[4]10^6 = 10^6/4 = 10^1.5 approx 31.62 , então:
No entanto, esse valor não está nas opções. Isso indica que talvez a sequência original esteja correta com 1022 como último termo, mesmo não sendo uma potência de 10 exata.

Passo 6

Vamos recalcular considerando que o último termo é 1022. A sequência seria 1 = 10^0, 10 = 10^1, 100 = 10^2, 1000 = 10^3, 1022 approx 10^3 . Para encontrar o número de termos, observamos que cada termo multiplica por 10:
1 times 10 times 100 times 1022 = 1,022,000
Ainda assim, temos aproximadamente 4 termos. O produto seria:
raiz[4]1,022,000 approx 10^(0 + 1 + 2 + 3)/4 = 10^1.5 approx 31.62
Aplicando a média geométrica:
Ainda assim, não corresponde às opções. Parece que h�� uma inconsistência na sequência fornecida.

Resposta

Nenhuma das alternativas corresponde à média geométrica calculada. Pode haver um erro no enunciado do exercício.

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