Gabriel, um estudante de 17 anos, tem o sonho de ficar rico e para isso ele investiu uma quantia de 10 mil reais numa instituição bancária que paga juros mensais de 6 %, no regime de juros compostos. O tempo necessário para que Gabriel possa atingir o montante de um milhão de reais é:
A) 50 meses
B) 75 meses
C) 80 meses
D) 100 meses.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de juros compostos. O Gabriel investiu R$10.000 e quer saber quanto tempo leva para esse dinheiro virar R$1.000.000 com juros de 6% ao mês. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula dos juros compostos e saber como isolar o tempo nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula dos juros compostos:
A = P times (1 + r)^t
Onde:
  • 1.000.000) - ( P ) é o principal investido (R é o montante final (R$1.000.000)
  • é o principal investido (R$10.000)
  • é a taxa de juros (6% ao mês, ou 0,06)
  • é o tempo em meses que queremos descobrir

Passo 3

Precisamos achar AP = (1 + r)^t . Vamos isolar 1.000.00010.000 = (1 + 0,06)^t na fórmula. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100 = (1,06)^t :
Substituindo pelos valores:

Passo 4

Agora, para resolver essa equação com ln(100) = ln((1,06)^t) no expoente, usamos logaritmo. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln(100) = t times ln(1,06)
Pela propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:

Passo 5

Isolamos t = ln(100)ln(1,06) dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Vamos calcular os valores:
  • t approx 4,60520,05827
  • t approx 79 meses
Então:

Resposta

A opção correta é a C) 80 meses.

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