A medida da área de um quadrilátero pode ser calculada através da função M(x) = -x² + 40x em que x representa a medida de um dos lados desse quadrilátero e M(x) representa a área. Qual será a medida máxima da área desse quadrilátero?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente tem uma função que calcula a área de um quadrilátero: $ M(x) = -x^2 + 40x $. Aqui, $ x $ é o tamanho de um dos lados e $ M(x) $ é a área. A pergunta é: qual é a área máxima que esse quadrilátero pode ter? Vamos usar conceitos de funções para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que $ M(x) = -x^2 + 40x $ é uma função quadrática, que tem a forma geral $ ax^2 + bx + c $. No nosso caso, $ a = -1 $, $ b = 40 $ e $ c = 0 $ (porque não tem termo constante). Funções quadráticas gráficas são parábolas. Como o coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ a = -1 $), a parábola abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto mais alto: o ponto máximo.

Passo 3

Para encontrar o ponto máximo dessa parábola, usamos a fórmula da coordenada $ x $ do vértice: $ x_v = -\frac{b}{2a} $. Substituindo os valores que temos:
x
Então, o valor de $ x $ que dá a área máxima é 20.

Passo 4

Agora que sabemos que $ x = 20 $, vamos calcular a área máxima substituindo esse valor na função $ M(x) $:
x = 20

Resposta

A medida máxima da área desse quadrilátero é $ 400 $ unidades quadradas.

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