Derivada PARCIAIS da tg^-1 (xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais da função tan^-1(xy). Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente em derivadas parciais e funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a x, ou seja, partialpartial x tan^-1(xy).

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. A função externa é tan^-1(u), onde u = xy. A derivada de tan^-1(u) em relação a u é 11 + u^2.

Passo 4

Agora, derivamos u = xy em relação a x. Como y é tratado como uma constante, a derivada de xy em relação a x é y.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas:
partialpartial x tan^-1(xy) = 11 + (xy)^2 cdot y = y1 + (xy)^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a y, ou seja, partialpartial y tan^-1(xy).

Passo 7

Novamente, usamos a regra da cadeia. A função externa é tan^-1(u), onde u = xy. A derivada de tan^-1(u) em relação a u continua sendo 11 + u^2.

Passo 8

Derivamos u = xy em relação a y. Como x é tratado como uma constante, a derivada de xy em relação a y é x.

Passo 9

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas:
partialpartial y tan^-1(xy) = 11 + (xy)^2 cdot x = x1 + (xy)^2

Resposta

As derivadas parciais da função tan^-1(xy) são:
partialpartial x tan^-1(xy) = y1 + (xy)^2
partialpartial y tan^-1(xy) = x1 + (xy)^2

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