As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x+1, 2x e X²-5, e nessa ordem formam uma PA. Calcule o perímetro do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um triângulo cujos lados têm medidas expressas por $ x + 1 $, $ 2x $ e $ x^2 - 5 $, nessa ordem. Além disso, esses lados formam uma PA, que é uma Progressão Aritmética. Nosso objetivo é calcular o perímetro desse triângulo. Para isso, vamos precisar entender o que é uma PA e como aplicá-la para encontrar o valor de $ x $ e, consequentemente, o perímetro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Progressão Aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre termos sucessivos é constante. Isso significa que, no caso de três termos $ a $, $ b $ e $ c $ que formam uma PA, a média entre o primeiro e o terceiro termo é igual ao segundo termo. Matemáticamente, isso é representado por:
a
No nosso problema, os lados do triângulo são $ a = x + 1 $, $ b = 2x $ e $ c = x^2 - 5 $. Como eles estão em PA, podemos escrever:
b

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
x
Simplificando a expressão do lado direito:
4x = (x + 1) + (x^2 - 5)
4x = x + 1 + x^2 - 5

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para obter uma equação quadrática igualada a zero:
x^2 + x - 4 - 4x = 0
x^2 - 3x - 4 = 0

Passo 5

Para resolver a equação quadrática $ x^2 - 3x - 4 = 0 $, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 3x - 4 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = -3 $ e $ c = -4 x = -b pm raizb^2 - 4ac2a \Delta $):
a = 1
Agora, substituímos na fórmula:
b = -3
Isso nos dá duas soluções:
c = -4

Passo 6

Como estamos lidando com medidas de lados de um triângulo, $ x $ precisa ser um número positivo. Portanto, descartamos $ x = -1 $ e ficamos com $ x = 4 $.

Passo 7

Agora que temos $ x = 4 $, vamos calcular as medidas dos lados:
x = 4
a = x + 1 = 4 + 1 = 5
b = 2x = 2 times 4 = 8

Passo 8

Por fim, o perímetro do triângulo é a soma dos seus lados:
Perímetro = a + b + c = 5 + 8 + 11 = 24 í

Resposta

O perímetro do triângulo é $ 24 $ unidades.

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