As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x+1, 2x e X²-5, e nessa ordem formam uma PA. Calcule o perímetro do triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um triângulo cujos lados têm medidas expressas por $ x + 1 $, $ 2x $ e $ x^2 - 5 $, nessa ordem. Além disso, esses lados formam uma PA, que é uma Progressão Aritmética. Nosso objetivo é calcular o perímetro desse triângulo. Para isso, vamos precisar entender o que é uma PA e como aplicá-la para encontrar o valor de $ x $ e, consequentemente, o perímetro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Progressão Aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre termos sucessivos é constante. Isso significa que, no caso de três termos $ a $, $ b $ e $ c $ que formam uma PA, a média entre o primeiro e o terceiro termo é igual ao segundo termo. Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso problema, os lados do triângulo são $ a = x + 1 $, $ b = 2x $ e $ c = x^2 - 5 $. Como eles estão em PA, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando a expressão do lado direito:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para obter uma equação quadrática igualada a zero:
Passo 5
Para resolver a equação quadrática $ x^2 - 3x - 4 = 0 $, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -3 $ e $ c = -4
\Delta $):
Agora, substituímos na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Como estamos lidando com medidas de lados de um triângulo, $ x $ precisa ser um número positivo. Portanto, descartamos $ x = -1 $ e ficamos com $ x = 4 $.
Passo 7
Agora que temos $ x = 4 $, vamos calcular as medidas dos lados:
Passo 8
Por fim, o perímetro do triângulo é a soma dos seus lados:
Resposta
O perímetro do triângulo é $ 24 $ unidades.