Mês Temperatura Consumo / 1000
Jan 21 185,79
Fev 24 214,47
Mar 32 288,03
Abr 47 424,84
Mai 50 454,58
Jun 59 539,03
Jul 68 621,55
Ago 74 675,06
Set 62 562,03
Out 50 452,93
Nov 41 369,95
Dez 30 273,98
a) Ajuste um modelo de regressão linear e interprete os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para ajustar um modelo de regressão linear usando os dados de temperatura e consumo fornecidos. A matéria que vamos usar aqui é Regressão Linear, que basicamente tenta encontrar uma relação reta entre duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a linha que melhor se ajusta aos nossos dados, ou seja, determinar os coeficientes da reta (inclinação e intercepto).

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 12 meses com valores de Temperatura ( |c|c|c| hline Mês & X (Temperatura) & Y (Consumo/1000) hline Jan & 21 & 185,79 Fev & 24 & 214,47 Mar & 32 & 288,03 Abr & 47 & 424,84 Mai & 50 & 454,58 Jun & 59 & 539,03 Jul & 68 & 621,55 Ago & 74 & 675,06 Set & 62 & 562,03 Out & 50 & 452,93 Nov & 41 & 369,95 Dez & 30 & 273,98 hline ) e Consumo ( ). Para facilitar os cálculos, vamos listar os valores:
ê

Passo 3

Vamos calcular a média de barX = sum Xn e barY = sum Yn (Temperatura) e de barX = 21 + 24 + 32 + 47 + 50 + 59 + 68 + 74 + 62 + 50 + 41 + 3012 = 54812 approx 45,67 (Consumo):
barY = 185,79 + 214,47 + 288,03 + 424,84 + 454,58 + 539,03 + 621,55 + 675,06 + 562,03 + 452,93 + 369,95 + 273,9812 approx 397,47
Onde .
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a covariância entre Cov(X,Y) = sum (Xi - barX)(Yi - barY)n e Var(X) = sum (Xi - barX)^2n e a variância de |c|c|c|c|c| hline Xi & Yi & Xi - barX & Yi - barY & (Xi - barX)(Yi - barY) hline 21 & 185,79 & -24,67 & -211,68 & 5228,14 24 & 214,47 & -21,67 & -182,00 & 3940,34 32 & 288,03 & -13,67 & -109,44 & 1493,03 47 & 424,84 & 1,33 & 27,37 & 36,40 50 & 454,58 & 4,33 & 57,11 & 247,05 59 & 539,03 & 13,33 & 141,56 & 1884,72 68 & 621,55 & 22,33 & 224,08 & 5012,12 74 & 675,06 & 28,33 & 277,59 & 7871,66 62 & 562,03 & 16,33 & 164,56 & 2683,48 50 & 452,93 & 4,33 & 55,46 & 240,14 41 & 369,95 & -4,67 & -27,52 & 128,31 30 & 273,98 & -15,67 & -123,49 & 1931,32 hline :
sum (Xi - barX)(Yi - barY) approx 5228,14 + 3940,34 + 1493,03 + 36,40 + 247,05 + 1884,72 + 5012,12 + 7871,66 + 2683,48 + 240,14 + 128,31 + 1931,32 = 26271,11
Cov(X,Y) = 26271,1112 approx 2189,26
Vamos fazer esses cálculos passo a passo:
sum (Xi - barX)^2 = (-24,67)^2 + (-21,67)^2 + (-13,67)^2 + 1,33^2 + 4,33^2 + 13,33^2 + 22,33^2 + 28,33^2 + 16,33^2 + 4,33^2 + (-4,67)^2 + (-15,67)^2
Somando os valores da última coluna:
approx 608,24 + 469,48 + 186,75 + 1,77 + 18,75 + 177,69 + 499,30 + 802,89 + 266,73 + 18,75 + 21,82 + 245,42 = 3037,00
Então,
Var(X) = 3037,0012 approx 253,08
Agora, vamos calcular :
Calculando cada termo:
Então,

Passo 5

Com a covariância e a variância calculadas, podemos encontrar os coeficientes da regressão linear b = Cov(X,Y)Var(X) e a = barY - b barX , onde:
b = 2189,26253,08 approx 8,66
Calculando a = 397,47 - 8,66 times 45,67 approx 397,47 - 394,43 approx 3,04 :
Agora, calculando :

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, nossa equação de regressão fica:
Y = 3,04 + 8,66X

Passo 7

Vamos interpretar os resultados:
  • Intercepto ( ): É o valor de consumo quando a temperatura é zero. Embora na prática a temperatura nunca seja zero nos dados, o intercepto nos dá um ponto de referência para a linha de regressão.
  • Inclinação ( ): Indica que, para cada aumento de 1 grau na temperatura, o consumo aumenta em aproximadamente 8,66 unidades (no caso, em milhares).
Isso sugere que há uma relação positiva entre a temperatura e o consumo: quanto mais quente está, maior tende a ser o consumo.

Resposta

O modelo de regressão linear ajustado é:
Y = 3,04 + 8,66X
Isso significa que, para cada aumento de 1 grau na temperatura, o consumo aumenta em aproximadamente 8,66 unidades. O intercepto de 3,04 representa o consumo estimado quando a temperatura é zero.

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