No modelo clássico de regressão linear:
:
( ) A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos.
() Os estimadores
e
são os estimadores lineares não-tendenciosos de variância mínima apenas se os erros
são variáveis não correlacionadas entre si com
variância constante. Se uma dessas preposições sobre os erros não for válida, os estimadores de mínimos quadrados ordinários deixam de ser os melhores. (Hoffman, cap. 19, pág. 368).
( ) As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que
asseguram que
e
se distribuem independentemente.
() A hipótese
é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam não tendenciosos.
() Os estimadores de mínimos quadrados de
e
podem ser escritos como combinações lineares das observações
.
( ) A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos.
() Os estimadores
( ) As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que
() A hipótese
() Os estimadores de mínimos quadrados de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela fala sobre o modelo clássico de regressão linear, que é uma ferramenta usada para entender a relação entre uma variável dependente $ Y $ e uma ou mais variáveis independentes $ X $. No modelo dado, temos $ Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_i $, onde $ u_i $ representa o erro ou resíduo.
Para resolver essa questão, precisamos entender os estimadores de mínimos quadrados ordinários (MQO) e as hipóteses necessárias para que esses estimadores sejam bons, ou seja, não tendenciosos e com variância mínima. Também vamos analisar propriedades sobre a distribuição dos erros e a independência entre eles.
Passo 2
Primeira afirmação:
A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos.
Essa afirmação está relacionada à distribuição dos estimadores. Os estimadores de MQO são lineares e, pela propriedade do limite central, eles são aproximadamente normais quando o tamanho da amostra é grande, independentemente da distribuição dos erros. No entanto, para que os estimadores sejam exatamente normais, assumimos que os erros são normalmente distribuídos.
Portanto, a normalidade dos erros é necessária para que os estimadores de MQO sejam normalmente distribuídos.
Passo 3
Segunda afirmação:
Os estimadores $ \hat{\beta}_1 = \bar{Y} - \hat{\beta}_2 \bar{X} $ e $ \hat{\beta}_2 = \frac{\Sigma x_i y_i}{\Sigma x_i^{2}} $ são os estimadores lineares não-tendenciosos de variância mínima apenas se os erros $ u_i $ são variáveis não correlacionadas entre si com $ \mathrm{E}(u_i) = 0 $ e variância constante. Se uma dessas preposições sobre os erros não for válida, os estimadores de mínimos quadrados ordinários deixam de ser os melhores.
Essa afirmação aborda as hipóteses de exogeneidade, que incluem que os erros têm média zero, variância constante (homocedasticidade) e não estão correlacionados entre si (não autocorrelacionados). Essas condições garantem que os estimadores de MQO sejam BLUE (Best Linear Unbiased Estimators), ou seja, os melhores estimadores lineares não tendenciosos com variância mínima.
Se alguma dessas condições não for atendida, os estimadores de MQO ainda podem ser não tendenciosos, mas eles não serão mais os estimadores com menor variância possível.
Portanto, a afirmação está correta.
Passo 4
Terceira afirmação:
As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que $ \operatorname{cov}(u_i, u_j \mid X_i, X_j) = 0, i \neq j $ asseguram que $ u_i $ e $ u_j $ se distribuem independentemente.
Aqui, além de assumir a normalidade dos erros, também estamos dizendo que os erros são não correlacionados. Quando combinamos a normalidade com a não correlação, isso implica independência entre os erros. Isso ocorre porque, para variáveis aleatórias normais, a não correlação implica independência.
Portanto, a afirmação está correta.
Passo 5
Quarta afirmação:
A hipótese $ \operatorname{Var}(\mu_i \mid X_i) = \sigma^{2} $ é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam não tendenciosos.
A hipótese correta para garantir que os estimadores de MQO sejam não tendenciosos é que $ \mathrm{E}(u_i \mid X_i) = 0 $, o que implica que $ \operatorname{Var}(Y_i \mid X_i) = \sigma^{2}
\sigma^{2} $) é relacionada à homocedasticidade, que é uma das condições para os estimadores serem BLUE, mas a não tendenciosidade depende principalmente da média zero dos erros.
Portanto, a afirmação está incorreta.
Quinta afirmação:
Os estimadores de mínimos quadrados de $ \beta_1 $ e $ \beta_2 $ podem ser escritos como combinações lineares das observações $ Y_i $.
Isso é verdade porque os estimadores de MQO são derivados através de combinações lineares das observações $ Y_i $. Por exemplo, $ \hat{\beta}_2 $ é uma combinação linear de $ Y_i $ ponderada por $ X_i $, e $ \hat{\beta}_1 $ também é uma combinação linear dos $ Y_i $ ajustada pela média de $ X $.
Portanto, a afirmação está correta.
Resposta
As afirmações corretas são:
- A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos.
- Os estimadores $ \hat{\beta}_1 $ e $ \hat{\beta}_2 $ são os estimadores lineares não-tendenciosos de variância mínima apenas se os erros $ u_i $ são variáveis não correlacionadas entre si com $ \mathrm{E}(u_i) = 0 $ e variância constante.
- As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que $ \operatorname{cov}(u_i, u_j \mid X_i, X_j) = 0, i \neq j $ asseguram que $ u_i $ e $ u_j $ se distribuem independentemente.
- Os estimadores de mínimos quadrados de $ \beta_1 $ e $ \beta_2 $ podem ser escritos como combinações lineares das observações $ Y_i $.
A quarta afirmação está incorreta.