O módulo do número complexo z=i^2014 -i^1987 é?

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o módulo do número complexo $ z = i^{2014} - i^{1987} $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente sobre as potências de $ i $ e o cálculo de módulos.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar $ i^{2014} $ e $ i^{1987} $. Sabemos que $ i $ tem um ciclo de 4, ou seja:
i^2014
E depois disso, o ciclo se repete.

Passo 3

Vamos simplificar $ i^{2014} $. Dividimos 2014 por 4:
i^2014
Então,
2014 div 4 = 503 com resto 2

Passo 4

Agora, vamos simplificar $ i^{1987} $. Dividimos 1987 por 4:
i^1987
Assim,
1987 div 4 = 496 com resto 3

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na expressão original:
z = i^2014 - i^1987 = -1 - (-i) = -1 + i

Passo 6

Para encontrar o módulo de um número complexo $ z = a + b i $, usamos a fórmula:
z = a + b i
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 1 $.

Resposta

O módulo de $ z $ é $ \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $.

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