O módulo do número complexo z=i^2014 -i^1987 é?
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o módulo do número complexo $ z = i^{2014} - i^{1987} $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente sobre as potências de $ i $ e o cálculo de módulos.
Passo 2
Primeiro, precisamos simplificar $ i^{2014} $ e $ i^{1987} $. Sabemos que $ i $ tem um ciclo de 4, ou seja:
E depois disso, o ciclo se repete.
Passo 3
Vamos simplificar $ i^{2014} $. Dividimos 2014 por 4:
Então,
Passo 4
Agora, vamos simplificar $ i^{1987} $. Dividimos 1987 por 4:
Assim,
Passo 5
Substituindo os valores encontrados na expressão original:
Passo 6
Para encontrar o módulo de um número complexo $ z = a + b i $, usamos a fórmula:
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 1 $.
Resposta
O módulo de $ z $ é $ \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $.