Mostrar que na presença de acoplamento (spinórbita), o número quântico de momento angular tem valores dados por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, quando temos o acoplamento spin-órbita ( ), o número quântico de momento angular ( ) pode assumir valores que vão de até , diminuindo de um em um. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar os momentos angulares orbital ( ) e de spin ( ) para encontrar os possíveis valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total é a soma do momento angular orbital e do momento angular de spin :
Quando combinamos dois momentos angulares, os possíveis valores do número quântico total são determinados pela regra de adição dos momentos angulares.

Passo 3

A regra de adição dos momentos angulares diz que o valor máximo de é a soma dos valores individuais dos momentos angulares, e o valor mínimo é o valor absoluto da diferença entre eles. Além disso, os valores intermediários diminuem de um em um. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Para ilustrar isso, vamos considerar exemplos específicos. Suponha que temos e . Aplicando a regra:
Então, os possíveis valores de são e .

Passo 5

Outro exemplo: se e , então:
Então, os possíveis valores de são , e .

Passo 6

Esses exemplos mostram que, de fato, os valores de começam em e vão diminuindo de um em um até chegar em . Isso se deve ao fato de que, ao combinar os momentos angulares, os pontos mais alinhados dão o valor máximo, e os mais opostos dão o valor mínimo.

Passo 7

Voltando ao exercício original, o acoplamento spin-órbita faz com que os momentos angulares e interajam e se combinem para formar o momento angular total . A regra de adição que aplicamos acima é exatamente o que determina os possíveis valores de nessa situação.

Resposta

Portanto, demonstramos que na presença de acoplamento spin-órbita , o número quântico de momento angular pode assumir os valores , conforme solicitado.

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