Mostrar que na presença de acoplamento
(spinórbita), o número quântico de momento angular tem valores dados por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, quando temos o acoplamento spin-órbita (
), o número quântico de momento angular (
) pode assumir valores que vão de
até
, diminuindo de um em um. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar os momentos angulares orbital (
) e de spin (
) para encontrar os possíveis valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total
é a soma do momento angular orbital
e do momento angular de spin
:
Quando combinamos dois momentos angulares, os possíveis valores do número quântico total
são determinados pela regra de adição dos momentos angulares.
Passo 3
A regra de adição dos momentos angulares diz que o valor máximo de
é a soma dos valores individuais dos momentos angulares, e o valor mínimo é o valor absoluto da diferença entre eles. Além disso, os valores intermediários diminuem de um em um. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 4
Para ilustrar isso, vamos considerar exemplos específicos. Suponha que temos
e
. Aplicando a regra:
Então, os possíveis valores de
são
e
.
Passo 5
Outro exemplo: se
e
, então:
Então, os possíveis valores de
são
,
e
.
Passo 6
Esses exemplos mostram que, de fato, os valores de
começam em
e vão diminuindo de um em um até chegar em
. Isso se deve ao fato de que, ao combinar os momentos angulares, os pontos mais alinhados dão o valor máximo, e os mais opostos dão o valor mínimo.
Passo 7
Voltando ao exercício original, o acoplamento spin-órbita
faz com que os momentos angulares
e
interajam e se combinem para formar o momento angular total
. A regra de adição que aplicamos acima é exatamente o que determina os possíveis valores de
nessa situação.
Resposta
Portanto, demonstramos que na presença de acoplamento spin-órbita
, o número quântico de momento angular
pode assumir os valores
, conforme solicitado.
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