Mostre que
(capi=1^n Ai)^c=cupi=1^n Ai^c
isto é,

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o complemento da interseção de vários conjuntos é igual à união dos complementos desses conjuntos. O conteúdo envolve Teoria dos Conjuntos, especificamente as Leis de De Morgan. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam interseção, união e complemento de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar as definições básicas:
  • Interseção ( cap): Elementos que estão em todos os conjuntos.
  • União ( cup): Elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.
  • Complemento ( ^c): Elementos que não estão no conjunto.

Passo 3

Queremos provar que:
(capi=1^n Ai)^c = cupi=1^n Ai^c
Isso significa que um elemento que não está em todos os conjuntos Ai está em pelo menos um dos complementos Ai^c.

Passo 4

Vamos provar isso usando a lógica de elementos. Seja x um elemento qualquer.
Primeiro, assumimos que x está no complemento da interseção:
x in (capi=1^n Ai)^c
Isso significa que x não está na interseção de todos os Ai, ou seja, existe pelo menos um índice k tal que:
x notin Ak

Passo 5

Se x notin Ak, então por definição de complemento:
x in Ak^c
Como x está no complemento de pelo menos um dos conjuntos, ele está na união dos complementos:
x in cupi=1^n Ai^c

Passo 6

Agora, fazemos a prova inversa. Suponha que:
x in cupi=1^n Ai^c
Isso significa que existe pelo menos um índice j tal que:
x in Aj^c
Ou seja:
x notin Aj

Passo 7

Se x notin Aj, então x não está em todos os conjuntos Ai. Logo, x não está na interseção de todos os Ai:
x in (capi=1^n Ai)^c

Resposta

Portanto, mostramos que:
(capi=1^n Ai)^c = cupi=1^n Ai^c

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