Mostre que
isto é,

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o complemento da interseção de vários conjuntos é igual à união dos complementos desses conjuntos. O conteúdo envolve Teoria dos Conjuntos, especificamente as Leis de De Morgan. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam interseção, união e complemento de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar as definições básicas:
  • Interseção ( ): Elementos que estão em todos os conjuntos.
  • União ( ): Elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.
  • Complemento ( ): Elementos que não estão no conjunto.

Passo 3

Queremos provar que:
Isso significa que um elemento que não está em todos os conjuntos está em pelo menos um dos complementos .

Passo 4

Vamos provar isso usando a lógica de elementos. Seja um elemento qualquer.
Primeiro, assumimos que está no complemento da interseção:
Isso significa que não está na interseção de todos os , ou seja, existe pelo menos um índice tal que:

Passo 5

Se , então por definição de complemento:
Como está no complemento de pelo menos um dos conjuntos, ele está na união dos complementos:

Passo 6

Agora, fazemos a prova inversa. Suponha que:
Isso significa que existe pelo menos um índice tal que:
Ou seja:

Passo 7

Se , então não está em todos os conjuntos . Logo, não está na interseção de todos os :

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Identifique a população e a amostra: Uma pesquisa com 546 aves de uma determinada espécie descobriu que mais de possuem um alelo específico de um gene relacionado com o sistema imune (MHC: Major Histocompatibility Complex).
Identifique a população e a amostra: Uma pesquisa com 1045 eleitores descobriu que 19% acham que a proteger o meio ambiente é um assunto importante para ser considerado ao votar o congresso nacional.
Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30 . Uma bola é escolhida e observado o seu número. Seja . Descreva os eventos:
Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30 . Uma bola é escolhida e observado o seu número. Seja . Descreva os eventos: (e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5