Mostre que
isto é,
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o complemento da interseção de vários conjuntos é igual à união dos complementos desses conjuntos. O conteúdo envolve Teoria dos Conjuntos, especificamente as Leis de De Morgan. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam interseção, união e complemento de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar as definições básicas:
- Interseção (
): Elementos que estão em todos os conjuntos. - União (
): Elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. - Complemento (
): Elementos que não estão no conjunto.
Passo 3
Queremos provar que:
Isso significa que um elemento que não está em todos os conjuntos
está em pelo menos um dos complementos
.
Passo 4
Vamos provar isso usando a lógica de elementos. Seja
um elemento qualquer.
Primeiro, assumimos que
está no complemento da interseção:
Isso significa que
não está na interseção de todos os
, ou seja, existe pelo menos um índice
tal que:
Passo 5
Se
, então por definição de complemento:
Como
está no complemento de pelo menos um dos conjuntos, ele está na união dos complementos:
Passo 6
Agora, fazemos a prova inversa. Suponha que:
Isso significa que existe pelo menos um índice
tal que:
Ou seja:
Passo 7
Se
, então
não está em todos os conjuntos
. Logo,
não está na interseção de todos os
:
Resposta
Portanto, mostramos que: