Mostre que a condição para que a suposição original no ítem (a) seja válida, é (e^2 / 4 pi varepsilon0)<.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a condição (e^24 pi varepsilon0) << m v0^22 é válida para que a suposição original no item (a) seja verdadeira. Estamos lidando com conceitos de eletrostática e energia cinética. Para resolver isso, vamos comparar essas duas expressões e demonstrar que a primeira é muito menor que a segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada termo da equação:
  • e^24 pi varepsilon0: Essa expressão representa a energia eletrostática de duas cargas elétricas elementares, como a força de Coulomb entre elas.
  • m v0^22: Essa é a energia cinética de uma partícula de massa m com velocidade v0.
Queremos provar que a energia eletrostática é muito menor que a energia cinética.

Passo 3

Para comparar as duas energias, podemos reescrever a condição da seguinte forma:
e^24 pi varepsilon0 << m v0^22
Isso significa que:
e^24 pi varepsilon0 ll m v0^22

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a comparação. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador do lado direito:
2 e^24 pi varepsilon0 ll m v0^2
Simplificando, temos:
e^22 pi varepsilon0 ll m v0^2

Passo 5

Isso mostra que a energia eletrostática ( e^22 pi varepsilon0) deve ser muito menor que a energia cinética ( m v0^2) para que a suposição original seja válida. Essa condição garante que os efeitos eletrostáticos são negligenciáveis em comparação com a energia cinética do sistema.

Resposta

Assim, demonstramos que (e^24 pi varepsilon0) << m v0^22 é a condição necessária para que a suposição original no item (a) seja válida.

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