Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que a derivada do logaritmo da função
em relação a
, quando
se aproxima de 1, e a derivada do logaritmo da função
em relação a
, quando
se aproxima de 0, são iguais a zero. Isso está relacionado ao estudo das propriedades das funções no campo da termodinâmica química, especialmente envolvendo coeficientes de atividade. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. Geralmente,
representa o coeficiente de atividade de uma substância em uma solução. O logaritmo do
é utilizado para simplificar as expressões nas equações termodinâmicas.
Passo 3
Vamos considerar a expressão
e calcular sua derivada em relação a
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. Aqui, queremos saber como
muda quando
varia.
Passo 4
Ao calcular
, estamos encontrando a inclinação da curva
em relação a
. Quando
se aproxima de 1, isso significa que a substância 1 está praticamente pura na solução.
Passo 5
De maneira similar,
representa a derivada do logaritmo do coeficiente de atividade da substância 2 em relação a
. Quando
se aproxima de 0, a substância 2 está praticamente pura.
Passo 6
Para mostrar que ambas as derivadas são zero nesses limites, precisamos considerar que em soluções puras, os coeficientes de atividade tendem a 1. Logo,
e
tendem a zero quando
se aproxima de 1 ou 0, respectivamente.
Passo 7
Como
e
tendem a zero nessas condições, suas derivadas também tenderão a zero. Isso ocorre porque a função está se estabilizando e não está mais mudando significativamente à medida que nos aproximamos dos limites de pureza.