Mostre que se A é uma matriz não singular tal que A2=A, então det(A)=1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão nos pede para mostrar que se $ A $ é uma matriz não singular (ou seja, inversível) e satisfaz a equação $ A^2 = A $, então o determinante de $ A $ é igual a 1. Para isso, vamos usar propriedades de determinantes e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser não singular. Uma matriz não singular é aquela que possui uma inversa, ou seja, existe uma matriz $ A^{-1} $ tal que $ A \cdot A^{-1} = I $, onde $ I $ é a matriz identidade. Além disso, sabemos que o determinante de uma matriz não singular é diferente de zero ($ \det(A) \neq 0 $).

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos determinantes em relação à multiplicação. Sabemos que para duas matrizes quadradas $ A $ e $ B $ do mesmo tamanho, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:
A
No nosso caso, como $ A^2 = A $, podemos escrever $ A \cdot A = A $.

Passo 4

Aplicando a propriedade dos determinantes à equação $ A^2 = A $, temos:
A^2 = A
Usando a propriedade mencionada no passo anterior:
det(A^2) = det(A)

Passo 5

Agora, temos a equação:
det(A)^2 = det(A)
Podemos rearranjar essa equação subtraindo $ \det(A) $ de ambos os lados:
det(A)
Fatorando:
det(A)^2 - det(A) = 0

Passo 6

A equação fatorada nos dá duas possibilidades:
det(A) = 0 ou det(A) - 1 = 0
Ou seja:
det(A) = 0 ou det(A) = 1

Passo 7

Lembrando que $ A $ é uma matriz não singular, sabemos que $ \det(A) \neq 0 $. Portanto, a única possibilidade que resta é:
A

Resposta

Portanto, mostramos que $ \det(A) = 1 $.

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