Mostre que se A é uma matriz não singular tal que A2=A, então det(A)=1.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão nos pede para mostrar que se $ A $ é uma matriz não singular (ou seja, inversível) e satisfaz a equação $ A^2 = A $, então o determinante de $ A $ é igual a 1. Para isso, vamos usar propriedades de determinantes e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser não singular. Uma matriz não singular é aquela que possui uma inversa, ou seja, existe uma matriz $ A^{-1} $ tal que $ A \cdot A^{-1} = I $, onde $ I $ é a matriz identidade. Além disso, sabemos que o determinante de uma matriz não singular é diferente de zero ($ \det(A) \neq 0 $).
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade dos determinantes em relação à multiplicação. Sabemos que para duas matrizes quadradas $ A $ e $ B $ do mesmo tamanho, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:
No nosso caso, como $ A^2 = A $, podemos escrever $ A \cdot A = A $.
Passo 4
Aplicando a propriedade dos determinantes à equação $ A^2 = A $, temos:
Usando a propriedade mencionada no passo anterior:
Passo 5
Agora, temos a equação:
Podemos rearranjar essa equação subtraindo $ \det(A) $ de ambos os lados:
Fatorando:
Passo 6
A equação fatorada nos dá duas possibilidades:
Ou seja:
Passo 7
Lembrando que $ A $ é uma matriz não singular, sabemos que $ \det(A) \neq 0 $. Portanto, a única possibilidade que resta é:
Resposta
Portanto, mostramos que $ \det(A) = 1 $.