Mostre que o quadrilátero de vértices A (-4/5, 13/5), B (-1/2, 7/2), C (1,2) e D (2/5, 1/5) é um trapézio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrilátero com quatro pontos: A (-4/5, 13/5), B (-1/2, 7/2), C (1, 2) e D (2/5, 1/5). Nosso objetivo aqui é mostrar que esse quadrilátero é um trapézio. Para isso, precisamos lembrar que um trapézio é um quadrilátero que tem pelo menos um par de lados paralelos. Vamos usar a geometria analítica, ou seja, as coordenadas dos pontos, para calcular as inclinações dos lados e ver se algum par é paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os lados do quadrilátero. São eles:
  • AB, que vai de A (-4/5, 13/5) até B (-1/2, 7/2)
  • BC, de B (-1/2, 7/2) até C (1, 2)
  • CD, de C (1, 2) até D (2/5, 1/5)
  • DA, de D (2/5, 1/5) até A (-4/5, 13/5)

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação (slope) de cada lado. A fórmula para a inclinação entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é:
m = y₂ - y₁x₂ - x₁
Vamos calcular cada uma:
Inclinação de AB:
mAB = 72 - 135-12 - (-45) = 35 - 2610-12 + 45 = 910(-5 + 8)10 = 910310 = 3
Inclinação de BC:
mBC = 2 - 721 - (-12) = -3232 = -1
Inclinação de CD:
mCD = 15 - 225 - 1 = -95-35 = 3
Inclinação de DA:
mDA = 135 - 15-45 - 25 = 125-65 = -2

Passo 4

Agora que temos todas as inclinações, vamos ver se algum par de lados tem a mesma inclinação, o que indicaria que são paralelos:
  • AB e CD têm inclinações iguais a 3. Isso significa que esses dois lados são paralelos.
  • BC e DA têm inclinações diferentes (-1 e -2, respectivamente), então não são paralelos.

Resposta

Portanto, como o lado AB é paralelo ao lado CD, o quadrilátero é um trapézio.

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