Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
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1,0 | 1 |
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1,5 | 2 |
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1,5 | 3 |
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2,5 | 4 |
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3 | 5 |
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Determine o seguinte:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra uma função de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. A função é dada por $ f_{XY}(x, y) $ para diferentes valores de $ x $ e $ y $.
O conteúdo principal aqui é probabilidade conjunta, que estuda a probabilidade de eventos relacionados a duas variáveis ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades que definem uma função de probabilidade conjunta e, em seguida, calcular a probabilidade específica que a questão pede: $ P(X > 1,8, Y > 4,7) $.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função dada realmente é uma função de probabilidade conjunta. Para isso, ela precisa satisfazer duas propriedades:
- Não negatividade: Todos os valores de $ f_{XY}(x, y) $ devem ser maiores ou iguais a zero.
- Somatório igual a 1: A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos conferir essas duas propriedades.
Passo 3
Propriedade 1: Não negatividade
Olhemos para os valores de $ f_{XY}(x, y) $:
- $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{8} $
Todos esses valores são positivos, então a função satisfaz a propriedade de não negatividade.
Passo 4
Propriedade 2: Somatório igual a 1
Vamos somar todas as probabilidades:
A soma das probabilidades é 1, então a função também satisfaz essa propriedade.
Passo 5
Agora que verificamos que $ f_{XY}(x, y) $ é uma função de probabilidade conjunta válida, vamos calcular a probabilidade $ P(X > 1,8, Y > 4,7) $.
Para isso, precisamos identificar quais pares
na tabela satisfazem as condições $ X > 1,8 $ e $ Y > 4,7 $.
Passo 6
Vamos analisar cada par
:
-
: $ X = 1,0 $ não é maior que 1,8. Ignoramos. -
: $ X = 1,5 $ não é maior que 1,8. Ignoramos. -
: $ X = 1,5 $ não é maior que 1,8. Ignoramos. -
: $ X = 2,5 > 1,8 $ e $ Y = 4 $ não é maior que 4,7. Ignoramos. -
: $ X = 3 > 1,8 $ e $ Y = 5 > 4,7 $. Este par satisfaz ambas as condições.
Passo 7
A única combinação que atende $ X > 1,8 $ e $ Y > 4,7 $ é
. Agora, vamos verificar o valor de $ f_{XY}(3,5) $:
Resposta
Portanto, a probabilidade $ P(X > 1,8, Y > 4,7) $ é $ \frac{1}{8} $.