Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
x y fxy(x, y)
1,0 1 14
1,5 2 18
1,5 3 14
2,5 4 14
3 5 18
Determine o seguinte:
d) P(X>1,8, Y>4,7)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra uma função de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. A função é dada por $ f_{XY}(x, y) $ para diferentes valores de $ x $ e $ y $.
O conteúdo principal aqui é probabilidade conjunta, que estuda a probabilidade de eventos relacionados a duas variáveis ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades que definem uma função de probabilidade conjunta e, em seguida, calcular a probabilidade específica que a questão pede: $ P(X > 1,8, Y > 4,7) $.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função dada realmente é uma função de probabilidade conjunta. Para isso, ela precisa satisfazer duas propriedades:
  1. Não negatividade: Todos os valores de $ f_{XY}(x, y) $ devem ser maiores ou iguais a zero.
  2. Somatório igual a 1: A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos conferir essas duas propriedades.

Passo 3

Propriedade 1: Não negatividade
Olhemos para os valores de $ f_{XY}(x, y) $:
  • $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{8} $
Todos esses valores são positivos, então a função satisfaz a propriedade de não negatividade.

Passo 4

Propriedade 2: Somatório igual a 1
Vamos somar todas as probabilidades:
14 + 18 + 14 + 14 + 18 = 28 + 18 + 28 + 28 + 18 = 88 = 1
A soma das probabilidades é 1, então a função também satisfaz essa propriedade.

Passo 5

Agora que verificamos que $ f_{XY}(x, y) $ é uma função de probabilidade conjunta válida, vamos calcular a probabilidade $ P(X > 1,8, Y > 4,7) $.
Para isso, precisamos identificar quais pares fXY(x, y) na tabela satisfazem as condições $ X > 1,8 $ e $ Y > 4,7 $.

Passo 6

Vamos analisar cada par (x, y):
  1. (1,0), 1: $ X = 1,0 $ não é maior que 1,8. Ignoramos.
  2. X = 1,0 : $ X = 1,5 $ não é maior que 1,8. Ignoramos.
  3. (1,5), 2: $ X = 1,5 $ não é maior que 1,8. Ignoramos.
  4. X = 1,5 : $ X = 2,5 > 1,8 $ e $ Y = 4 $ não é maior que 4,7. Ignoramos.
  5. (1,5), 3: $ X = 3 > 1,8 $ e $ Y = 5 > 4,7 $. Este par satisfaz ambas as condições.

Passo 7

A única combinação que atende $ X > 1,8 $ e $ Y > 4,7 $ é X > 1,8 . Agora, vamos verificar o valor de $ f_{XY}(3,5) $:
Y > 4,7

Resposta

Portanto, a probabilidade $ P(X > 1,8, Y > 4,7) $ é $ \frac{1}{8} $.

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