Determine a convariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta,
para a faixa de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente encontrar a covariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta $ f_{XY}(x, y) = e^{-x - y} $, onde $ x > 0 $ e $ y > 0 $. Aqui, estamos lidando com probabilidade conjunta, que é um conceito da estatística e probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as expectativas $ E(X) $, $ E(Y) $, $ E(XY) $ e depois usar essas para achar a covariância e a correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função dada $ f_{XY}(x, y) = e^{-x - y} $ é uma função densidade conjunta, ou seja, ela descreve a probabilidade de $ X $ e $ Y $ ocorrerem juntos. Para que seja uma função de densidade válida, a integral dupla sobre todo o domínio ($ x > 0 $ e $ y > 0 $) deve ser igual a 1.
Vamos verificar isso:
Tudo certo, a função é uma densidade válida.
Passo 3
Agora, vamos calcular as esperanças $ E(X) $ e $ E(Y) $. A esperança de $ X $ é dada por:
Como a função é simétrica em $ x $ e $ y $, a esperança de $ Y $ será igual a de $ X $, ou seja, $ E(Y) = E(X) $.
Vamos calcular $ E(X) $:
Então, $ E(X) = E(Y) = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a esperança do produto $ E(XY) $:
Novamente, como a função é simétrica, podemos separar as integrais:
Portanto, $ E(XY) = 1 $.
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular a covariância $ Cov(X, Y) $ usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso significa que $ X $ e $ Y $ não têm covariância, ou seja, eles não variam juntos de forma linear.
Passo 6
Por fim, vamos calcular a correlação $ \rho_{XY} $. A correlação é dada por:
Onde $ \sigma_X $ e $ \sigma_Y $ são os desvios padrão de $ X $ e $ Y $, respectivamente. Vamos calcular $ \sigma_X $:
Primeiro, encontramos $ E(X^2) $:
Então,
O mesmo vale para $ \sigma_Y = 1 $.
Agora, substituindo na fórmula da correlação:
Resposta
A covariância entre $ X $ e $ Y $ é zero e a correlação também é zero.