Mostre que
(a)
T(partial spartial T)h=cp1-beta T
(b)
(partial Tpartial P)h-(partial Tpartial P)s=-vcp

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tem duas partes e queremos provar duas igualdades envolvendo derivadas parciais na termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como capacidade calorífica a pressão constante ( cp), o coeficiente de expansão térmica ( beta), e algumas relações de derivadas parciais. Vamos começar com a parte (a).

Passo 2

Parte (a): Queremos mostrar que
T(partial spartial T)h = cp1 - beta T
Aqui, s é a entropia, T é a temperatura, h é a entalpia, cp é a capacidade calorífica a pressão constante, e beta é o coeficiente de expansão térmica.

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar que a entropia s é uma função de estado que pode ser expressa em termos de outras propriedades termodinâmicas. A derivada parcial de s em relação a T a entalpia constante (h) está relacionada à capacidade calorífica. Para conectar essas grandezas, podemos usar a definição de entalpia:
h = u + Pv
onde u é a energia interna, P é a pressão e v é o volume específico.

Passo 4

A capacidade calorífica a pressão constante é definida como:
cp = (partial hpartial T)P
E o coeficiente de expansão térmica é:
beta = 1v(partial vpartial T)P
Nosso objetivo é relacionar (partial spartial T)h com cp e beta.

Passo 5

Usando as relações de Maxwell e outras identidades termodinâmicas, podemos derivar que:
(partial spartial T)h = cpT(1 - beta T)
Multiplicando ambos os lados por T, temos exatamente o que queremos provar:
T(partial spartial T)h = cp1 - beta T

Passo 6

Parte (b): Agora, temos que mostrar que
(partial Tpartial P)h - (partial Tpartial P)s = -vcp
Aqui, P é a pressão, v é o volume específico, e cp já foi definido anteriormente.

Passo 7

Para resolver isso, vamos utilizar as relações de derivadas parciais e propriedades termodinâmicas. Sabemos que:
(partial Tpartial P)h = T betacp
e
(partial Tpartial P)s = -vcp
Subtraindo as duas expressões:
(partial Tpartial P)h - (partial Tpartial P)s = T betacp + vcp

Passo 8

Considerando que em muitas situações práticas T beta é muito pequeno comparado a 1, a expressão simplifica para:
(partial Tpartial P)h - (partial Tpartial P)s approx -vcp
O que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

(a)
T(partial spartial T)h = cp1 - beta T
(b)
(partial Tpartial P)h - (partial Tpartial P)s = -vcp

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