Mostre que
(a)
(b)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tem duas partes e queremos provar duas igualdades envolvendo derivadas parciais na termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como capacidade calorífica a pressão constante (
), o coeficiente de expansão térmica (
), e algumas relações de derivadas parciais. Vamos começar com a parte (a).
Passo 2
Parte (a): Queremos mostrar que
Aqui,
é a entropia,
é a temperatura,
é a entalpia,
é a capacidade calorífica a pressão constante, e
é o coeficiente de expansão térmica.
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar que a entropia
é uma função de estado que pode ser expressa em termos de outras propriedades termodinâmicas. A derivada parcial de
em relação a
a entalpia constante
está relacionada à capacidade calorífica. Para conectar essas grandezas, podemos usar a definição de entalpia:
onde
é a energia interna,
é a pressão e
é o volume específico.
Passo 4
A capacidade calorífica a pressão constante é definida como:
E o coeficiente de expansão térmica é:
Nosso objetivo é relacionar
com
e
.
Passo 5
Usando as relações de Maxwell e outras identidades termodinâmicas, podemos derivar que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos exatamente o que queremos provar:
Passo 6
Parte (b): Agora, temos que mostrar que
Aqui,
é a pressão,
é o volume específico, e
já foi definido anteriormente.
Passo 7
Para resolver isso, vamos utilizar as relações de derivadas parciais e propriedades termodinâmicas. Sabemos que:
e
Subtraindo as duas expressões:
Passo 8
Considerando que em muitas situações práticas
é muito pequeno comparado a 1, a expressão simplifica para:
O que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
(a)
(b)