Mostre que d/dx sen^-1(x) = 1/raiz(1 - x^2). (Dica: Lembre-se que y = sen^(-1)(x) significa sen y = x ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão pede para mostrar que a derivada de em relação a x é igual a . Vamos resolver isso usando cálculo diferencial, mais especificamente utilizando a derivação implícita.

Passo 2

Vamos começar definindo . Isso significa que . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembrando que y é uma função de x, usamos a regra da cadeia para derivar o lado esquerdo.

Passo 4

Aplicando a derivada, temos:
Aqui, usamos a derivada de , que é , devido à regra da cadeia.

Passo 5

Agora, isolamos :

Passo 6

Precisamos expressar em termos de x. Sabemos que , então podemos usar a identidade trigonométrica para encontrar .

Passo 7

Substituindo na expressão de :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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