SE POSSIVEL
f(x) = x / (x + 1) eg(x) 1/x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função e informa que a derivada de , ou seja, , é igual a . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada e antiderivada (ou integral). Precisamos encontrar a função cuja derivada seja . Para isso, vamos usar o processo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Se conhecemos a derivada de uma função, podemos encontrar a função original através da integração, que é o processo inverso da diferenciação.

Passo 3

Dado que , para encontrar , precisamos integrar em relação a . A integral de é uma função que, quando derivada, nos retorna . Então, vamos calcular:

Passo 4

A integral de é conhecida na matemática como a função logarítmica natural. Portanto:
Onde é a constante de integração. Essa constante aparece porque, ao derivar, a constante desaparece, então ao integrar, devemos considerar que qualquer constante poderia ter sido perdida na diferenciação.

Resposta

A função cuja derivada é é:

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