Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária v(t)=2 t-4 t^3 (no SI), determine:
a) a posição do móvel em t=2 s, sabendo que x(0)=0;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um móvel que se move em linha reta, e a velocidade dele é dada pela função horária $ v(t) = 2t - 4t^{3} $ (em unidades do Sistema Internacional). A pergunta é: qual é a posição desse móvel no instante $ t = 2 $ segundos, sabendo que no tempo $ t = 0 $ segundos a posição $ x(0) = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integral da função velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo. Ou seja, para encontrar a posição, precisamos integrar a função de velocidade. A fórmula geral para a posição é:
v(t)
Aqui, $ x(0) = 0 $, então nossa fórmula fica:
x(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Vamos integrar cada termo separadamente.
integral (2s) , ds = 2 integral s , ds = 2 ( s^22 ) = s^2
integral (-4s^3) , ds = -4 integral s^3 , ds = -4 ( s^44 ) = -s^4
Então, a integral completa fica:
x(t) = s^2 - s^4 gr|0^t = (t^2 - t^4) - (0 - 0) = t^2 - t^4

Passo 4

Agora, vamos substituir $ t = 2 $ segundos na expressão que encontramos para $ x(t) $:
t = 2

Resposta

A posição do móvel em $ t = 2 $ segundos é $ x(2) = -12 $ metros.

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