Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária v(t)=2 t-4 t^3 (no SI), determine:
d) a velocidade média entre t=1 s e t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a velocidade média de um móvel que se move em linha reta, cuja função da velocidade em função do tempo é dada por $ v(t) = 2t - 4t^{3} $. Vamos precisar entender o que é velocidade média e como calcular usando a função da velocidade fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é velocidade média. A velocidade média entre dois instantes de tempo é calculada dividindo a variação da posição pela variação do tempo. Mas, como não temos a posição diretamente, podemos usar uma outra abordagem: a velocidade média também pode ser encontrada calculando a média dos valores da função de velocidade no intervalo considerado.

Passo 3

Para calcular a velocidade média entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s, precisamos integrar a função da velocidade no intervalo e depois dividir pelo tamanho do intervalo. A fórmula para a velocidade média $ v_{m} $ é:
t = 1
onde $ t_1 = 1 $ s e $ t_2 = 2 $ s.

Passo 4

Vamos calcular a integral da função $ v(t) = 2t - 4t^{3} $ de 1 a 2. Primeiro, encontramos a antiderivada de $ v(t) $:
v(t) = 2t - 4t^3
onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar para o cálculo definido.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração:
integral1^2 v(t) , dt = [t^2 - t^4]1^2 = (2^2 - 2^4) - (1^2 - 1^4) = (4 - 16) - (1 - 1) = (-12) - 0 = -12

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da velocidade média:
vm = 12 - 1 times (-12) = -121 = -12 , m/s

Resposta

A velocidade média entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s é -12 m/s.

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