O movimento da coordenada
é oscilatório. Encontre o período correspondente. Dica: utilize a integral da energia (quadratura).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um movimento oscilatório da coordenada
e pede para a gente encontrar o período dessa oscilação. O conteúdo envolvido aqui é o de movimentos oscilatórios e energia em sistemas físicos. Para resolver, vamos precisar usar a integral da energia, também conhecida como quadratura, que nos ajuda a calcular o período de movimentos oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em movimentos oscilatórios, como o da coordenada
, a energia total do sistema (
) é a soma da energia cinética e da energia potencial. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
Aqui,
é a massa associada ao movimento,
é a velocidade, e
é a energia potencial que depende de
.
Passo 3
Vamos rearranjar essa equação para isolar a velocidade
. Subtraindo
de ambos os lados e multiplicando por 2, temos:
Agora, dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Para encontrar o período
da oscilação, precisamos integrar o tempo que leva para a coordenada
ir de uma posição de equilíbrio até o ponto mais afastado e voltar. Como o movimento é simétrico, podemos calcular o tempo para ir de
até
e depois multiplicar por 2. A expressão para o período fica:
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos reescrever o denominador da integral:
Ou, de forma mais compacta:
Resposta
Portanto, o período
da oscilação da coordenada
é dado por: