O movimento da coordenada phi é oscilatório. Encontre o período correspondente. Dica: utilize a integral da energia (quadratura).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um movimento oscilatório da coordenada phi e pede para a gente encontrar o período dessa oscilação. O conteúdo envolvido aqui é o de movimentos oscilatórios e energia em sistemas físicos. Para resolver, vamos precisar usar a integral da energia, também conhecida como quadratura, que nos ajuda a calcular o período de movimentos oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em movimentos oscilatórios, como o da coordenada phi, a energia total do sistema ( E) é a soma da energia cinética e da energia potencial. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
E = 12m(dphidt)^2 + V(phi)
Aqui, m é a massa associada ao movimento, dphidt é a velocidade, e V(phi) é a energia potencial que depende de phi.

Passo 3

Vamos rearranjar essa equação para isolar a velocidade dphidt. Subtraindo V(phi) de ambos os lados e multiplicando por 2, temos:
m(dphidt)^2 = 2(E - V(phi))
Agora, dividindo ambos os lados por m, obtemos:
(dphidt)^2 = 2(E - V(phi))m

Passo 4

Para encontrar o período T da oscilação, precisamos integrar o tempo que leva para a coordenada phi ir de uma posição de equilíbrio até o ponto mais afastado e voltar. Como o movimento é simétrico, podemos calcular o tempo para ir de phimin até phimax e depois multiplicar por 2. A expressão para o período fica:
T = 2 integralphimin^phimax dphiraiz2(E - V(phi))m

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos reescrever o denominador da integral:
T = 2 raizm/2 integralphimin^phimax dphiraizE - V(phi)
Ou, de forma mais compacta:
T = raiz2m integralphimin^phimax dphiraizE - V(phi)

Resposta

Portanto, o período T da oscilação da coordenada phi é dado por:
T = raiz2m integralphimin^phimax dphiraizE - V(phi)

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