Determine os pontos de equilíbrio do sistema e os classifique (estável/instável). Determine a frequência para pequenas oscilações perto dos pontos de equilíbrio estáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos de equilíbrio de um sistema, classificá-los como estáveis ou instáveis, e determinar a frequência das pequenas oscilações perto dos pontos estáveis. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de sistemas dinâmicos, equilíbrio e análise de estabilidade usando cálculo e álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de equilíbrio. Em um sistema dinâmico, como um sistema de equações diferenciais, um ponto de equilíbrio é onde todas as taxas de variação são zero. Ou seja, se temos um sistema:
O ponto
é um ponto de equilíbrio se:
Passo 3
Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, a gente configura as equações
e
e resolve essas equações simultaneamente. Vamos supor que já fizemos isso e encontramos alguns pontos
. Agora, precisamos classificá-los.
Passo 4
A classificação dos pontos de equilíbrio como estáveis ou instáveis é feita analisando a matriz jacobiana do sistema no ponto de equilíbrio. A matriz jacobiana é dada por:
A gente avalia essa matriz no ponto
e encontra os valores próprios (ou autovalores) dessa matriz.
Passo 5
Dependendo dos valores próprios, a gente classifica o ponto de equilíbrio:
- Estável: Se todas as partes reais dos valores próprios forem negativas.
- Instável: Se pelo menos um valor próprio tiver parte real positiva.
- Sela: Se houver valores próprios com partes reais de sinais opostos.
Passo 6
Finalmente, se o ponto de equilíbrio for estável, podemos calcular a frequência das pequenas oscilações perto desse ponto. Essa frequência está relacionada aos valores próprios e pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é o valor próprio com parte real negativa.
Resposta
Os pontos de equilíbrio do sistema são encontrados resolvendo
e
. Após calcular a matriz jacobiana no ponto de equilíbrio e encontrar seus valores próprios, classificamos o ponto como estável se todos os valores próprios tiverem parte real negativa, ou instável caso contrário. Para pontos estáveis, a frequência das pequenas oscilações próximas é dada por
, onde
é o valor próprio correspondente.