Determine os pontos de equilíbrio do sistema e os classifique (estável/instável). Determine a frequência para pequenas oscilações perto dos pontos de equilíbrio estáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos de equilíbrio de um sistema, classificá-los como estáveis ou instáveis, e determinar a frequência das pequenas oscilações perto dos pontos estáveis. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de sistemas dinâmicos, equilíbrio e análise de estabilidade usando cálculo e álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de equilíbrio. Em um sistema dinâmico, como um sistema de equações diferenciais, um ponto de equilíbrio é onde todas as taxas de variação são zero. Ou seja, se temos um sistema:
dxdt = f(x, y) dydt = g(x, y)
O ponto (x0, y0) é um ponto de equilíbrio se:
f(x0, y0) = 0 e g(x0, y0) = 0

Passo 3

Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, a gente configura as equações f(x, y) = 0 e g(x, y) = 0 e resolve essas equações simultaneamente. Vamos supor que já fizemos isso e encontramos alguns pontos (x0, y0). Agora, precisamos classificá-los.

Passo 4

A classificação dos pontos de equilíbrio como estáveis ou instáveis é feita analisando a matriz jacobiana do sistema no ponto de equilíbrio. A matriz jacobiana é dada por:
J = partial fpartial x & partial fpartial y partial gpartial x & partial gpartial y
A gente avalia essa matriz no ponto (x0, y0) e encontra os valores próprios (ou autovalores) dessa matriz.

Passo 5

Dependendo dos valores próprios, a gente classifica o ponto de equilíbrio:
  • Estável: Se todas as partes reais dos valores próprios forem negativas.
  • Instável: Se pelo menos um valor próprio tiver parte real positiva.
  • Sela: Se houver valores próprios com partes reais de sinais opostos.

Passo 6

Finalmente, se o ponto de equilíbrio for estável, podemos calcular a frequência das pequenas oscilações perto desse ponto. Essa frequência está relacionada aos valores próprios e pode ser calculada usando a fórmula:
omega = raiz-lambda
onde lambda é o valor próprio com parte real negativa.

Resposta

Os pontos de equilíbrio do sistema são encontrados resolvendo f(x, y) = 0 e g(x, y) = 0. Após calcular a matriz jacobiana no ponto de equilíbrio e encontrar seus valores próprios, classificamos o ponto como estável se todos os valores próprios tiverem parte real negativa, ou instável caso contrário. Para pontos estáveis, a frequência das pequenas oscilações próximas é dada por omega = raiz-lambda, onde lambda é o valor próprio correspondente.

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