O movimento de uma partícula esta representada pelas equações:
metros e
segundos
.
Determinar:
a) O instante para o qual a velocidade é mínima.
Determinar:
a) O instante para o qual a velocidade é mínima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o movimento de uma partícula dado pelas equações
,
e
. O que a gente precisa descobrir é em que instante a velocidade dessa partícula é mínima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e depois otimizar essa velocidade para achar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada uma das equações de posição:
Então, as componentes da velocidade são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade total da partícula, que é o módulo do vetor velocidade. A fórmula para isso é:
Substituindo as componentes que encontramos:
Passo 4
Para encontrar o instante onde a velocidade é mínima, é mais fácil minimizar o quadrado da velocidade
, já que a raiz quadrada é uma função crescente e não vai alterar o ponto mínimo. Então, vamos considerar:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Agora, para encontrar o mínimo dessa função quadrática, usamos a fórmula do vértice. Para uma função da forma
, o t no vértice é
. Aqui,
e
:
Resposta
O instante em que a velocidade da partícula é mínima ocorre em
segundos.
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