O movimento de uma partícula esta representada pelas equações:
x=t^2, y=(t-1)^2, z=8 t(x, y, x: metros e t: segundos ).
Determinar:
a) O instante para o qual a velocidade é mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o movimento de uma partícula dado pelas equações , e . O que a gente precisa descobrir é em que instante a velocidade dessa partícula é mínima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e depois otimizar essa velocidade para achar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada uma das equações de posição:
vx = dxdt = ddt(t^2) = 2t
vy = dydt = ddt((t-1)^2) = 2(t-1)
vz = dzdt = ddt(8t) = 8
Então, as componentes da velocidade são , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade total da partícula, que é o módulo do vetor velocidade. A fórmula para isso é:
v = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Substituindo as componentes que encontramos:
v = raiz(2t)^2 + [2(t-1)]^2 + 8^2 = raiz4t^2 + 4(t-1)^2 + 64

Passo 4

Para encontrar o instante onde a velocidade é mínima, é mais fácil minimizar o quadrado da velocidade v^2 = 4t^2 + 4(t-1)^2 + 64 , já que a raiz quadrada é uma função crescente e não vai alterar o ponto mínimo. Então, vamos considerar:
v^2 = 4t^2 + 4(t^2 - 2t + 1) + 64 = 4t^2 + 4t^2 - 8t + 4 + 64 = 8t^2 - 8t + 68
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
t = --82 times 8 = 816 = 0,5 , segundos
Agora, para encontrar o mínimo dessa função quadrática, usamos a fórmula do vértice. Para uma função da forma , o t no vértice é . Aqui, e :

Resposta

O instante em que a velocidade da partícula é mínima ocorre em segundos.

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