O movimento de uma partícula esta representada pelas equações:
metros e segundos .
Determinar:
a) O instante para o qual a velocidade é mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o movimento de uma partícula dado pelas equações , e . O que a gente precisa descobrir é em que instante a velocidade dessa partícula é mínima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e depois otimizar essa velocidade para achar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada uma das equações de posição:
Então, as componentes da velocidade são , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade total da partícula, que é o módulo do vetor velocidade. A fórmula para isso é:
Substituindo as componentes que encontramos:

Passo 4

Para encontrar o instante onde a velocidade é mínima, é mais fácil minimizar o quadrado da velocidade , já que a raiz quadrada é uma função crescente e não vai alterar o ponto mínimo. Então, vamos considerar:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Agora, para encontrar o mínimo dessa função quadrática, usamos a fórmula do vértice. Para uma função da forma , o t no vértice é . Aqui, e :

Resposta

O instante em que a velocidade da partícula é mínima ocorre em segundos.

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