Encontre expressões que permitam a transformação de velocidades entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar como transformar as velocidades quando mudamos das coordenadas cartesianas para as coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde estudamos diferentes sistemas de coordenadas e como expressar vetores, como a velocidade, nesses sistemas. Para resolver, vamos precisar entender como cada sistema de coordenadas define a posição no espaço e como derivar isso para encontrar as expressões de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são definidas as coordenadas cartesianas e cilíndricas. Nas coordenadas cartesianas, usamos (x, y, z) para definir uma posição no espaço. Já nas cilíndricas, usamos (r, theta, z), onde r é a distância radial, theta é o ângulo em torno do eixo z, e z permanece o mesmo que nas cartesianas.

Passo 3

Sabendo disso, para transformar a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo, precisamos expressar x, y e z em termos de r, theta e z. Sabemos que:
x = r costheta
y = r sintheta
z = z
Agora, vamos derivar cada uma dessas equações em relação ao tempo para encontrar as componentes da velocidade nas coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Derivando x em relação ao tempo:
vx = dxdt = ddt(r costheta) = drdt costheta - r sintheta dthetadt
Derivando y:
vy = dydt = ddt(r sintheta) = drdt sintheta + r costheta dthetadt
Derivando z:
vz = dzdt = dzdt
Essas são as componentes da velocidade nas coordenadas cartesianas expressas em termos das derivadas nas coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Agora, vamos expressar as componentes da velocidade nas coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, a velocidade é dada por:
v = drdt er + r dthetadt etheta + dzdt ez
Onde er e etheta são os vetores unitários radiais e azimutais, respectivamente, e ez é o mesmo vetor unitário na direção z das coordenadas cartesianas.

Passo 6

Comparando as duas expressões que encontramos para vx e vy com a expressão vetorial em coordenadas cilíndricas, podemos relacionar as componentes cartesianas com as cilíndricas. Assim, conseguimos transformar as velocidades entre esses dois sistemas de coordenadas.

Passo 7

Agora, vamos fazer a mesma coisa para as coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos (rho, phi, theta), onde rho é a distância radial, phi é o ângulo polar (do eixo z) e theta é o ângulo azimutal (em torno do eixo z).

Passo 8

As coordenadas cartesianas em termos das esféricas ficam:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
Vamos derivar essas equações em relação ao tempo para encontrar as componentes da velocidade nas coordenadas esféricas.

Passo 9

Derivando x:
vx = dxdt = ddt(rho sinphi costheta) = drhodt sinphi costheta + rho cosphi dphidt costheta - rho sinphi sintheta dthetadt
Derivando y:
vy = dydt = ddt(rho sinphi sintheta) = drhodt sinphi sintheta + rho cosphi dphidt sintheta + rho sinphi costheta dthetadt
Derivando z:
vz = dzdt = ddt(rho cosphi) = drhodt cosphi - rho sinphi dphidt

Passo 10

A velocidade nas coordenadas esféricas é então expressa por:
v = drhodt erho + rho dphidt ephi + rho sinphi dthetadt etheta
Onde erho, ephi e etheta são os vetores unitários nas direções radiais, polares e azimutais, respectivamente.

Resposta

As expressões para transformar as velocidades entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
v = drdt er + r dthetadt etheta + dzdt ez
E entre cartesianas e esféricas:
v = drhodt erho + rho dphidt ephi + rho sinphi dthetadt etheta

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