Encontre expressões que permitam a transformação de velocidades entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar como transformar as velocidades quando mudamos das coordenadas cartesianas para as coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde estudamos diferentes sistemas de coordenadas e como expressar vetores, como a velocidade, nesses sistemas. Para resolver, vamos precisar entender como cada sistema de coordenadas define a posição no espaço e como derivar isso para encontrar as expressões de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são definidas as coordenadas cartesianas e cilíndricas. Nas coordenadas cartesianas, usamos
para definir uma posição no espaço. Já nas cilíndricas, usamos
, onde
é a distância radial,
é o ângulo em torno do eixo
, e
permanece o mesmo que nas cartesianas.
Passo 3
Sabendo disso, para transformar a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo, precisamos expressar
,
e
em termos de
,
e
. Sabemos que:
Agora, vamos derivar cada uma dessas equações em relação ao tempo para encontrar as componentes da velocidade nas coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Derivando
em relação ao tempo:
Derivando
:
Derivando
:
Essas são as componentes da velocidade nas coordenadas cartesianas expressas em termos das derivadas nas coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Agora, vamos expressar as componentes da velocidade nas coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, a velocidade é dada por:
Onde
e
são os vetores unitários radiais e azimutais, respectivamente, e
é o mesmo vetor unitário na direção
das coordenadas cartesianas.
Passo 6
Comparando as duas expressões que encontramos para
e
com a expressão vetorial em coordenadas cilíndricas, podemos relacionar as componentes cartesianas com as cilíndricas. Assim, conseguimos transformar as velocidades entre esses dois sistemas de coordenadas.
Passo 7
Agora, vamos fazer a mesma coisa para as coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos
, onde
é a distância radial,
é o ângulo polar (do eixo
) e
é o ângulo azimutal (em torno do eixo
).
Passo 8
As coordenadas cartesianas em termos das esféricas ficam:
Vamos derivar essas equações em relação ao tempo para encontrar as componentes da velocidade nas coordenadas esféricas.
Passo 9
Derivando
:
Derivando
:
Derivando
:
Passo 10
A velocidade nas coordenadas esféricas é então expressa por:
Onde
,
e
são os vetores unitários nas direções radiais, polares e azimutais, respectivamente.
Resposta
As expressões para transformar as velocidades entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
E entre cartesianas e esféricas: