Encontre expressões que permitam a transformação de velocidades entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar como transformar as velocidades quando mudamos das coordenadas cartesianas para as coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde estudamos diferentes sistemas de coordenadas e como expressar vetores, como a velocidade, nesses sistemas. Para resolver, vamos precisar entender como cada sistema de coordenadas define a posição no espaço e como derivar isso para encontrar as expressões de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são definidas as coordenadas cartesianas e cilíndricas. Nas coordenadas cartesianas, usamos para definir uma posição no espaço. Já nas cilíndricas, usamos , onde é a distância radial, é o ângulo em torno do eixo , e permanece o mesmo que nas cartesianas.

Passo 3

Sabendo disso, para transformar a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo, precisamos expressar , e em termos de , e . Sabemos que:
Agora, vamos derivar cada uma dessas equações em relação ao tempo para encontrar as componentes da velocidade nas coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Derivando em relação ao tempo:
Derivando :
Derivando :
Essas são as componentes da velocidade nas coordenadas cartesianas expressas em termos das derivadas nas coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Agora, vamos expressar as componentes da velocidade nas coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, a velocidade é dada por:
Onde e são os vetores unitários radiais e azimutais, respectivamente, e é o mesmo vetor unitário na direção das coordenadas cartesianas.

Passo 6

Comparando as duas expressões que encontramos para e com a expressão vetorial em coordenadas cilíndricas, podemos relacionar as componentes cartesianas com as cilíndricas. Assim, conseguimos transformar as velocidades entre esses dois sistemas de coordenadas.

Passo 7

Agora, vamos fazer a mesma coisa para as coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos , onde é a distância radial, é o ângulo polar (do eixo ) e é o ângulo azimutal (em torno do eixo ).

Passo 8

As coordenadas cartesianas em termos das esféricas ficam:
Vamos derivar essas equações em relação ao tempo para encontrar as componentes da velocidade nas coordenadas esféricas.

Passo 9

Derivando :
Derivando :
Derivando :

Passo 10

A velocidade nas coordenadas esféricas é então expressa por:
Onde , e são os vetores unitários nas direções radiais, polares e azimutais, respectivamente.

Resposta

As expressões para transformar as velocidades entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
E entre cartesianas e esféricas:

Exercícios relacionados

Uma esfera de material isolante, sem carga, esta suspensa por um fio de náilon. Um bastāo de vidro eletricamente carregado é colocado próximo a esfera.
b) Caso o bastâo toque a esfera. O que devemos observar após o toque: o bastāo e a esfera văo continuar grudados ou se repelirão. Explique sua resposta.
O movimento de uma partícula esta representada pelas equações:
metros e segundos .
Determinar:
a) O instante para o qual a velocidade é mínima.
Um elétron tem uma velocidade inicial de e uma aceleração de numa região em que estão presentes um campo elétrico e um campo magnético uniformes. Sabendo-se que , determine o campo elétrico .
Um feixe de partículas carregadas é injetado com velocidade inicial de módulo em uma região onde existe um campo magnético uniforme . Vamos supor que essa velocidade inicial esteja no plano xy e que, portanto, essas partículas continuam sempre nesse plano. As partículas vão descrever uma trajetória semicircular até atingirem um anteparo, que registrará a distância que elas percorreram na direção paralela a esse anteparo. Determine a razão entre os parâmetros de um feixe de elétrons e de um feixe de prótons. (R: 0,00054)