Os n candidatos a uma vaga foram classificados como 1,2,3, ldots, n. Seja X a classificação de um candidato selecionado aleatoriamente, de forma que X tenha fmp
p(x)=l 1 / n x=1,2,3, cdots, n 0 caso contrário á
Calcule E(X). Sugestāo: a soma dos primeiros n inteiros positivos é n(n+1) / 2, enquanto a soma de seus quadrados é n(n+1)(2 n+1) / 6.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema: temos n candidatos classificados de 1 a n. A variável aleatória X representa a classificação de um candidato escolhido aleatoriamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e esperança matemática. Precisaremos também lembrar como calcular a soma dos primeiros n números inteiros.

Passo 2

A função de massa de probabilidade (fmp) de X é dada por:
p(x) = 1n & para x = 1, 2, 3, ldots, n 0 & caso contrário á
Isso significa que cada classificação de 1 a n tem a mesma probabilidade de acontecer, que é .

Passo 3

A esperança matemática (E(X)) é uma medida que nos dá o valor médio esperado de X. A fórmula para calcular a esperança é:
E(X) = sumx=1^n x cdot p(x)
Aqui, vamos somar cada classificação multiplicada pela sua probabilidade.

Passo 4

Substituindo a fmp na fórmula da esperança:
E(X) = sumx=1^n x cdot 1n = 1n sumx=1^n x
Agora, precisamos calcular a soma dos primeiros n inteiros positivos, que sabemos pela fórmula:
sumx=1^n x = n(n + 1)2

Passo 5

Substituindo a soma na fórmula da esperança:
E(X) = 1n cdot n(n + 1)2 = n + 12

Resposta

A esperança de X é .

Exercícios relacionados