Os n candidatos a uma vaga foram classificados como
. Seja X a classificação de um candidato selecionado aleatoriamente, de forma que X tenha fmp
Calcule
. Sugestāo: a soma dos primeiros
inteiros positivos é
, enquanto a soma de seus quadrados é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema: temos n candidatos classificados de 1 a n. A variável aleatória X representa a classificação de um candidato escolhido aleatoriamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e esperança matemática. Precisaremos também lembrar como calcular a soma dos primeiros n números inteiros.
Passo 2
A função de massa de probabilidade (fmp) de X é dada por:
Isso significa que cada classificação de 1 a n tem a mesma probabilidade de acontecer, que é
.
Passo 3
A esperança matemática (E(X)) é uma medida que nos dá o valor médio esperado de X. A fórmula para calcular a esperança é:
Aqui, vamos somar cada classificação multiplicada pela sua probabilidade.
Passo 4
Substituindo a fmp na fórmula da esperança:
Agora, precisamos calcular a soma dos primeiros n inteiros positivos, que sabemos pela fórmula:
Passo 5
Substituindo a soma na fórmula da esperança:
Resposta
A esperança de X é
.