Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z.
Dado o campo elétrico que foi assumido na questão, utilize a lei de Faraday, e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético. Ou seja, que: partial Epartial x=-partial Bpartial t(1)

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente derivar a equação da onda para a luz usando as Equações de Maxwell. A matéria aqui é Eletromagnetismo, especificamente as Equações de Maxwell. Vamos precisar entender um pouco sobre os campos elétrico e magnético, e como eles se relacionam no espaço e no tempo para formar ondas eletromagnéticas como a luz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que é uma das Equações de Maxwell. Ela diz que uma variação no campo magnético no tempo gera um campo elétrico. Matematicamente, podemos escrever isso assim:
nabla times E = -partial Bpartial t
Mas, na nossa questão, a gente tem uma configuração específica: o campo elétrico está ao longo da direção e depende de e , e o campo magnético está ao longo da direção e também depende de e .

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Faraday com essas informações. Sabemos que o rotacional de nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) x + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) y + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) z em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times E = partial Eypartial x z
Mas, como está apenas na direção e depende só de e , muitas dessas derivadas vão ser zero. Então, o rotacional de simplifica para:

Passo 4

Agora, igualamos isso à parte direita da Lei de Faraday:
partial Eypartial x z = -partial Bpartial t
Como partial Eypartial x = -partial Bzpartial t está na direção , podemos escrever . Então, temos:

Passo 5

Essa é exatamente a relação que a questão queria que a gente demonstrasse:
partial Epartial x = -partial Bpartial t
Isso mostra que uma variação espacial no campo elétrico gera uma variação temporal no campo magnético , e vice-versa. Essa interação é fundamental para a propagação de ondas eletromagnéticas como a luz.

Resposta

Demonstramos que uma variação espacial no campo elétrico está diretamente relacionada a uma variação temporal no campo magnético, conforme mostrado pela equação:
partial Epartial x = -partial Bpartial t

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