Um novo tratamento foi usado em 10 pacientes. A chance de sucesso do tratamento é de 85 %. Obtenha a probabilidade de que a o tratamento seja bem-sucedida para:
(a) exatamente 3 pacientes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem 10 pacientes que usaram um tratamento novo, e a chance de sucesso desse tratamento é de 85%. O que a gente precisa descobrir é qual a probabilidade de exatamente 3 desses pacientes terem o tratamento bem-sucedido. Isso tá ligado à área de probabilidade, mais especificamente à distribuição binomial. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a fórmula que vamos usar. Quando estamos lidando com situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades (sucesso ou fracasso), usamos a distribuição binomial. A fórmula para calcular a probabilidade de ter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é:
k
Aqui:
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de fracasso em cada tentativa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de combinações possíveis de 10 pacientes escolherem exatamente 3 para ter sucesso. Isso é representado por $ \binom{10}{3} $. A fórmula para combinações é:
binom103
onde $ n! $ significa o fatorial de $ n $.
Então:
binomnk = n!k!(n - k)!

Passo 4

Vamos calcular agora $ p^{k} $, que é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos que queremos. Aqui, $ p = 0,85 $ e $ k = 3 $:
p^k

Passo 5

Em seguida, calculamos $ (1 - p)^{n - k} $, que é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos. Aqui, $ 1 - p = 0,15 $ e $ n - k = 7 $:
(1 - p)^n - k

Passo 6

Agora, juntamos tudo na fórmula original:
P(X = 3) = 120 times 0,614 times 0,000170 approx 0,0126

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 dos 10 pacientes terem o tratamento bem-sucedido é aproximadamente $ 1,26% $.

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