Um novo tratamento foi usado em 10 pacientes. A chance de sucesso do tratamento é de 85 %. Obtenha a probabilidade de que a o tratamento seja bem-sucedida para:
(b) até 3 pacientes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tratamento usado em 10 pacientes, e a chance de sucesso desse tratamento é de 85%. Queremos descobrir a probabilidade de que o tratamento seja bem-sucedido para até 3 pacientes. Isso envolve conceitos de probabilidade binomial, onde calculamos as chances de ter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “até 3 pacientes”. Isso inclui os casos em que o tratamento funciona para 0, 1, 2 ou 3 pacientes. Então, precisamos calcular a probabilidade para cada um desses cenários e depois somar tudo.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 10 pacientes)
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos (0, 1, 2, 3)
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (85% ou 0,85)
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas

Passo 4

Vamos calcular cada uma das probabilidades:
Para 0 pacientes:
P(X = 0) = binom100 (0.85)^0 (0.15)^10 = 1 times 1 times 0.15^10 approx 5.76 times 10^-7
Para 1 paciente:
P(X = 1) = binom101 (0.85)^1 (0.15)^9 = 10 times 0.85 times 0.15^9 approx 3.28 times 10^-5
Para 2 pacientes:
P(X = 2) = binom102 (0.85)^2 (0.15)^8 = 45 times 0.7225 times 0.15^8 approx 9.57 times 10^-4
Para 3 pacientes:
P(X = 3) = binom103 (0.85)^3 (0.15)^7 = 120 times 0.614125 times 0.15^7 approx 0.0105

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade total de sucesso para até 3 pacientes:
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) approx 5.76 times 10^-7 + 3.28 times 10^-5 + 9.57 times 10^-4 + 0.0105 approx 0.0115

Resposta

A probabilidade de que o tratamento seja bem-sucedido para até 3 pacientes é aproximadamente 1,15%.

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