A probabilidade de um arqueiro acertar no centro do alvo é de 80 %.
(a) Qual a probabilidade de que sejam necessárias 10 disparos para que o arqueiro acerte o centro do alvo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a probabilidade de um arqueiro acertar o centro do alvo, que é de 80%. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição geométrica, para descobrir qual é a chance de serem necessários 10 disparos para que ele acerte o centro pela primeira vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a distribuição geométrica representa. Ela calcula a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente no k-ésimo ensaio. No nosso caso, um “sucesso” é o arqueiro acertar o centro do alvo.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de sucesso (acertar o centro) é de 80%, ou seja, $ p = 0,8 $. Portanto, a probabilidade de fracasso (errar o centro) é $ q = 1 - p = 0,2 $.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de o primeiro acerto acontecer no 10º disparo. Isso significa que ele errou os primeiros 9 disparos e acertou no 10º. A fórmula da distribuição geométrica é:
P(X = k) = q^k-1 times p
Substituindo os valores:
P(X = 10) = (0,2)^9 times 0,8

Passo 5

Agora, vamos calcular isso:
(0,2)^9 = 0,2 times 0,2 times dots times 0,2 (9 vezes) approx 5,12 times 10^-7
Multiplicando por 0,8:
P(X = 10) approx 5,12 times 10^-7 times 0,8 approx 4,096 times 10^-7

Resposta

A probabilidade de que sejam necessários 10 disparos para que o arqueiro acerte o centro do alvo é aproximadamente $ 4,096 \times 10^{-7} $, ou 0,00004096 %.

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